Un peu de logique autour des équations du second degré

Si $ac<0$ nous avons $-4ac>0$ donc le discriminant $b^2-4ac$ est strictement positif et il existe deux solutions distinctes, donc l'ensemble $S$ est non vide.
L'implication est vraie.

Si $a+b+c=0$, alors $P(1)=0$ et $1$ est une racine de $P$, et comme le produit des racines est $\dfrac{c}{a}$, nous avons bien $S=\left\lbrace1;\dfrac{c}{a}\right\rbrace$, qui est réduit à un seul élément dans le cas où $c=a$.
L'implication est vraie.

Si $c=0$, l'équation s'écrit $ax^2+bx+0=x(ax+b)=0$ donc $0$ est alors une racine de $P$.
L'implication est fausse.

Comme $a-b+c=0$, alors $P(-1)=0$ et $-1$ est une racine de $P$, et comme le produit des racines est $\dfrac{c}{a}$, nous avons bien $S=\left\lbrace-1;-\dfrac{c}{a}\right\rbrace$, qui est réduit à un seul élément dans le cas où $c=a$.
L'implication est vraie.

Comme le discriminant est strictement positif, il existe deux racines distinctes $x_1$ et $x_2$, avec $x_1<x_2$ et comme leur produit est $\dfrac{c}{a}<0$, elles sont donc non nulles et de signe contraire, nous avons donc $x_1<0<x_2$
L'implication est vraie.

Le discriminant strictement négatif nous assure que le polynôme est de signe constant mais il peut être négatif. Par exemple $-(x^2+1)$.
L'implication est fausse.

Si le discriminant est strictement négatif, le polynôme est de signe constant, donc pour tout $(x,y) \in \R^2;P(x).P(y)\geq 0$.
Si le discriminant est nul, et notons $x_0$ la racine double, le polynôme est alors $a(x-x_0)^2$.
De ce fait, pour tout $(x,y) \in \R^2;P(x).P(y)=a^2(x-x_0)^2(y-x_0)^2\geq 0$.
Par contraposée, nous venons de montrer l'implication demandée.
L'implication est vraie.