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Optimisation d’un tracé de canalisation

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Énoncé

On considère un repère orthonormé du plan.

Une parcelle de terrain a la forme d’un triangle ABCABC, avec :

  • A(1,2;0,8)A(1{,}2 ; 0{,}8)

  • B(7,6;3,4)B(7{,}6 ; 3{,}4)

  • C(5;7)C(5 ; 7)

Objectif :

On souhaite construire une canalisation souterraine partant du point CC et arrivant au plus court sur le segment [AB][AB]. Pour cela, le tracé doit être perpendiculaire à la droite (AB)(AB), ce qui revient à trouver le projeté orthogonal de CC sur (AB)(AB).

Le coût de la canalisation est de 120 € par mètre.

Questions :

Déterminer les coordonnées du point d’arrivée HH sur [AB][AB] pour que la canalisation soit la plus courte possible, et calculer le coût correspondant, arrondi à l’euro près.

1. Montrer que tout point PP du segment [AB][AB] peut s’écrire sous la forme P(x;y(x))P(x ; y(x)), et déterminer l’expression de y(x)y(x) sous forme affine.

2. Exprimer en fonction de xx le carré de la distance f(x)=CP2f(x) = CP^2 entre le point C(5;7)C(5 ; 7) et un point P(x;y(x))P(x ; y(x)).

3. Développer f(x)f(x) sous forme polynôme du second degré.

4. Mettre f(x)f(x) sous forme canonique en complétant le carré, puis donner la valeur approchée du minimum à 0,01 près.

5. En déduire une valeur approchée de la distance minimale CHCH, puis calculer le coût de la canalisation arrondi à l’euro près.

Révéler le corrigé

1. Expression de y(x)y(x)

La droite (AB)(AB) passe par les points A(1,2 ;0,8)A(1{,}2\, ; 0{,}8) et B(7,6 ;3,4)B(7{,}6\, ; 3{,}4).

Le coefficient directeur est :

a=3,4−0,87,6−1,2=2,66,4=1332a = \dfrac{3{,}4 - 0{,}8}{7{,}6 - 1{,}2} = \dfrac{2{,}6}{6{,}4} = \dfrac{13}{32}

Une équation de la droite (AB)(AB) est :

y(x)=1332(x−1,2)+0,8y(x) = \dfrac{13}{32}(x - 1{,}2) + 0{,}8

2. Distance au carré

👉 Plutôt que d'obtenir des racines carrées en exprimant une longueur dans le plan, on exprime son carré, en observant que la distance est minimale revient à dire que le carré de la distance est également minimal (fonction carré croissante sur les réels positifs)

On cherche f(x)=(x−5)2+(y(x)−7)2f(x) = (x - 5)^2 + (y(x) - 7)^2

On garde cette expression pour la développer ensuite.

3. Développement de f(x)f(x)

On a :

(x−5)2=x2−10x+25(x - 5)^2 = x^2 - 10x + 25

y(x)=1332(x−1,2)+0,8=1332x−15,632+0,8=1332x+0,3125y(x) = \dfrac{13}{32}(x - 1{,}2) + 0{,}8 = \dfrac{13}{32}x - \dfrac{15{,}6}{32} + 0{,}8 = \dfrac{13}{32}x + 0{,}3125

Donc :

y(x)−7=1332x−6,6875y(x) - 7 = \dfrac{13}{32}x - 6{,}6875

On élève au carré :

(1332x−6,6875)2=1691024x2−2⋅1332⋅6,6875x+(6,6875)2\left( \dfrac{13}{32}x - 6{,}6875 \right)^2 = \dfrac{169}{1024}x^2 - 2 \cdot \dfrac{13}{32} \cdot 6{,}6875 x + (6{,}6875)^2

=1691024x2−173,87532x+44,7389= \dfrac{169}{1024}x^2 - \dfrac{173{,}875}{32}x + 44{,}7389

Donc :

f(x)=x2−10x+25+1691024x2−173,87532x+44,7389f(x) = x^2 - 10x + 25 + \dfrac{169}{1024}x^2 - \dfrac{173{,}875}{32}x + 44{,}7389

f(x)=(1+1691024)x2−(10+173,87532)x+69,7389f(x) = \left(1 + \dfrac{169}{1024}\right)x^2 - \left(10 + \dfrac{173{,}875}{32}\right)x + 69{,}7389

f(x)=11931024x2−493,87532x+69,7389f(x) = \dfrac{1193}{1024}x^2 - \dfrac{493{,}875}{32}x + 69{,}7389

4. On transforme l'écriture

On met 11931024\dfrac{1193}{1024} en facteur :

f(x)=11931024[x2−493,875⋅10241193⋅32x]+69,7389f(x) = \dfrac{1193}{1024} \left[ x^2 - \dfrac{493{,}875 \cdot 1024}{1193 \cdot 32}x \right] + 69{,}7389

On calcule le terme en xx :

493,875⋅10241193⋅32=50534438176≈13,23\dfrac{493{,}875 \cdot 1024}{1193 \cdot 32} = \dfrac{505344}{38176} \approx 13{,}23

On complète le carré :

x2−13,23x=(x−6,615)2−(6,615)2≈(x−6,615)2−43,76x^2 - 13{,}23x = (x - 6{,}615)^2 - (6{,}615)^2 \approx (x - 6{,}615)^2 - 43{,}76

Donc :

f(x)≈11931024(x−6,615)2+69,7389−11931024⋅43,76f(x) \approx \dfrac{1193}{1024}(x - 6{,}615)^2 + 69{,}7389 - \dfrac{1193}{1024} \cdot 43{,}76

⇒f(x)≈11931024(x−6,615)2+17,2\Rightarrow f(x) \approx \dfrac{1193}{1024}(x - 6{,}615)^2 + 17{,}2

Le minimum est atteint pour x≈6,62x \approx 6{,}62, et la valeur minimale est f(xmin⁡)≈17,2f(x_{\min}) \approx 17{,}2

5. Distance minimale et coût

CH≈17,2≈4,15CH \approx \sqrt{17{,}2} \approx 4{,}15 mètres

Coût total : 120×4,15≈498120 \times 4{,}15 \approx 498 €

Réponse : le coût minimum est 498 € (arrondi à l’euro près)