Optimisation d’un tracé de canalisation

Énoncé

On considère un repère orthonormé du plan.

Une parcelle de terrain a la forme d’un triangle $ABC$ , avec :

$A(0 ; 0)$

$B(4 ; 2)$

$C(2 ; 5)$

Objectif : On souhaite construire une canalisation souterraine partant du point $C$ et arrivant au plus court sur le segment $[AB]$ . Pour cela, le tracé doit être perpendiculaire à la droite $(AB)$ , ce qui revient à trouver le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$ .

Le coût de la canalisation est de $120$ € par mètre.

Questions :

Montrer que tout point $P$ du segment $[AB]$ peut s’écrire sous la forme $P(x ; y(x))$ , et déterminer l’expression de $y(x)$ sous forme affine.
Exprimer en fonction de $x$ le carré de la distance $f(x) = CP^2$ entre le point $C(2 ; 5)$ et un point $P(x ; y(x))$ .
Développer $f(x)$ sous forme polynôme du second degré.
Mettre $f(x)$ sous forme canonique en complétant le carré, puis donner la valeur exacte du minimum.
En déduire la distance minimale $CH$ , puis calculer le coût de la canalisation arrondi à l’euro près.

1. Équation de $(AB)$

$A(0;0)$ , $B(4;2)$ .

Coefficient directeur : $m = \dfrac{2-0}{4-0} = \dfrac{2}{4} = \dfrac12$ .

Équation : $y = \dfrac12 x$ .

Donc $P(x ; y(x))$ avec $y(x) = \dfrac12 x$ .

2. Carré de la distance $CP^2$

$C(2;5)$ , $P\left(x ; \frac12 x\right)$ .

$f(x) = (x - 2)^2 + \left(\frac12 x - 5\right)^2$ .

3. Développement

$(x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4$ .

$\left(\frac12 x - 5\right)^2 = \frac14 x^2 - 5x + 25$ .

En effet : $\frac12 x \times -5 \times 2 = -5x$ , et $(-5)^2 = 25$ .

Donc $f(x) = x^2 - 4x + 4 + \frac14 x^2 - 5x + 25$ .

$f(x) = \left(1 + \frac14\right)x^2 + (-4 - 5)x + (4 + 25)$ .

$f(x) = \frac54 x^2 - 9x + 29$ .

4. Forme canonique

On factorise par $\frac54$ :

$f(x) = \frac54 \left( x^2 - \frac{36}{5}x \right) + 29$ .

Car $-9x = \frac54 \times \left(-\frac{36}{5}x\right)$ .

Complétons le carré :

$x^2 - \frac{36}{5}x = \left(x - \frac{18}{5}\right)^2 - \left(\frac{18}{5}\right)^2$ .

Soit $\left(x - \frac{18}{5}\right)^2 - \frac{324}{25}$ .

Donc $f(x) = \frac54 \left( \left(x - \frac{18}{5}\right)^2 - \frac{324}{25} \right) + 29$ .

$f(x) = \frac54 \left(x - \frac{18}{5}\right)^2 - \frac54 \times \frac{324}{25} + 29$ .

$\frac54 \times \frac{324}{25} = \frac{5 \times 324}{4 \times 25} = \frac{1620}{100} = \frac{81}{5} = 16,2$ .

Donc $f(x) = \frac54 \left(x - \frac{18}{5}\right)^2 - \frac{81}{5} + 29$ .

$29 = \frac{145}{5}$ , donc $-\frac{81}{5} + \frac{145}{5} = \frac{64}{5}$ .

Ainsi $f(x) = \frac54 \left(x - \frac{18}{5}\right)^2 + \frac{64}{5}$ .

Minimum :
Le carré $\left(x - \frac{18}{5}\right)^2$ est toujours $\ge 0$ , et il s’annule pour $x = \frac{18}{5}$ .
À ce moment, $f(x) = \frac{64}{5}$ .

Donc $\displaystyle f_{\text{min}} = \frac{64}{5}$ .

5. Distance minimale $CH$

$CH^2 = f_{\text{min}} = 12,8$ .

Donc $CH = \sqrt{12,8} = \sqrt{\frac{128}{10}} = \sqrt{\frac{64}{5}} = \frac{8}{\sqrt{5}} = \frac{8\sqrt{5}}{5}$ m.

Approximation : $\sqrt{5} \approx 2,236$ , donc $CH \approx \frac{8 \times 2,236}{5} = \frac{17,888}{5} \approx 3,5776$ m.

Coût : $120 \times 3,5776 \approx 429,31$ €, arrondi à $429$ €.

Énoncé

On considère un repère orthonormé du plan.

Une parcelle de terrain a la forme d’un triangle $ABC$ , avec :

$A(0 ; 0)$

$B(4 ; 2)$

$C(2 ; 5)$

Le coût de la canalisation est de $120$ € par mètre.

Questions :

Montrer que tout point $P$ du segment $[AB]$ peut s’écrire sous la forme $P(x ; y(x))$ , et déterminer l’expression de $y(x)$ sous forme affine.
Exprimer en fonction de $x$ le carré de la distance $f(x) = CP^2$ entre le point $C(2 ; 5)$ et un point $P(x ; y(x))$ .
Développer $f(x)$ sous forme polynôme du second degré.
Mettre $f(x)$ sous forme canonique en complétant le carré, puis donner la valeur exacte du minimum.
En déduire la distance minimale $CH$ , puis calculer le coût de la canalisation arrondi à l’euro près.

1. Équation de $(AB)$

$A(0;0)$ , $B(4;2)$ .

Coefficient directeur : $m = \dfrac{2-0}{4-0} = \dfrac{2}{4} = \dfrac12$ .

Équation : $y = \dfrac12 x$ .

Donc $P(x ; y(x))$ avec $y(x) = \dfrac12 x$ .

2. Carré de la distance $CP^2$

$C(2;5)$ , $P\left(x ; \frac12 x\right)$ .

$f(x) = (x - 2)^2 + \left(\frac12 x - 5\right)^2$ .

3. Développement

$(x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4$ .

$\left(\frac12 x - 5\right)^2 = \frac14 x^2 - 5x + 25$ .

En effet : $\frac12 x \times -5 \times 2 = -5x$ , et $(-5)^2 = 25$ .

Donc $f(x) = x^2 - 4x + 4 + \frac14 x^2 - 5x + 25$ .

$f(x) = \left(1 + \frac14\right)x^2 + (-4 - 5)x + (4 + 25)$ .

$f(x) = \frac54 x^2 - 9x + 29$ .

4. Forme canonique

On factorise par $\frac54$ :

$f(x) = \frac54 \left( x^2 - \frac{36}{5}x \right) + 29$ .

Car $-9x = \frac54 \times \left(-\frac{36}{5}x\right)$ .

Complétons le carré :

$x^2 - \frac{36}{5}x = \left(x - \frac{18}{5}\right)^2 - \left(\frac{18}{5}\right)^2$ .

Soit $\left(x - \frac{18}{5}\right)^2 - \frac{324}{25}$ .

Donc $f(x) = \frac54 \left( \left(x - \frac{18}{5}\right)^2 - \frac{324}{25} \right) + 29$ .

$f(x) = \frac54 \left(x - \frac{18}{5}\right)^2 - \frac54 \times \frac{324}{25} + 29$ .

$\frac54 \times \frac{324}{25} = \frac{5 \times 324}{4 \times 25} = \frac{1620}{100} = \frac{81}{5} = 16,2$ .

Donc $f(x) = \frac54 \left(x - \frac{18}{5}\right)^2 - \frac{81}{5} + 29$ .

$29 = \frac{145}{5}$ , donc $-\frac{81}{5} + \frac{145}{5} = \frac{64}{5}$ .

Ainsi $f(x) = \frac54 \left(x - \frac{18}{5}\right)^2 + \frac{64}{5}$ .

Minimum :
Le carré $\left(x - \frac{18}{5}\right)^2$ est toujours $\ge 0$ , et il s’annule pour $x = \frac{18}{5}$ .
À ce moment, $f(x) = \frac{64}{5}$ .

Donc $\displaystyle f_{\text{min}} = \frac{64}{5}$ .

5. Distance minimale $CH$

$CH^2 = f_{\text{min}} = 12,8$ .

Donc $CH = \sqrt{12,8} = \sqrt{\frac{128}{10}} = \sqrt{\frac{64}{5}} = \frac{8}{\sqrt{5}} = \frac{8\sqrt{5}}{5}$ m.

Approximation : $\sqrt{5} \approx 2,236$ , donc $CH \approx \frac{8 \times 2,236}{5} = \frac{17,888}{5} \approx 3,5776$ m.

Coût : $120 \times 3,5776 \approx 429,31$ €, arrondi à $429$ €.

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Énoncé

On considère un repère orthonormé du plan.

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