Thalès et Pythagore : je maîtrise dans différentes situations

Exercice 1

1) « Faire un schéma à main levée de l'alignement entre la Terre, la Lune et le Soleil… »

On place trois points alignés représentant les centres :

On note $S$ le centre du Soleil, $L$ le centre de la Lune, $T$ le centre de la Terre.
Lors d’une éclipse solaire, la Lune est entre la Terre et le Soleil : l’ordre est donc $S$, puis $L$, puis $T$ sur une même droite.

Sur ton schéma à main levée, tu indiques :
$TS = 149~597~870$ km (distance du centre de la Terre au centre du Soleil)
$TL = 384~400$ km (distance du centre de la Terre au centre de la Lune)

Tu peux aussi en déduire la distance $LS$ (utile pour se repérer sur le schéma) :
$LS = TS - TL$
$LS = 149~597~870 - 384~400$
$LS = 149~213~470$ km

Enfin, tu représentes la Lune par un segment en $L$, le rayon $RL = 1~737$ km.

👉 Conseil : comme les distances sont énormes, ton schéma n’est pas à l’échelle, mais il doit respecter l’ordre $S$–$L$–$T$ et afficher clairement les valeurs $TS$, $TL$ et $RL$.

2) « Calculer le rayon du Soleil. »

Lors d’une éclipse totale, le Soleil et la Lune ont (à peu près) la même taille apparente vus depuis la Terre.
Cela revient à dire que les angles sous lesquels on voit leurs rayons sont égaux, donc :

$\dfrac{RL}{TL}=\dfrac{HS}{TS}$

où $HS$ désigne le rayon du Soleil (c’est ta notation).

Tu avais écrit sous une forme équivalente :
$\dfrac{TL}{TS}=\dfrac{RL}{HS}$

On isole $HS$ :
$HS = \dfrac{TS \times RL}{TL}$

On remplace par les valeurs :
$HS = \dfrac{149~597~870 \times 1~737}{384~400}$

Calcul :
$HS \approx 675~992,456$

Donc le rayon du Soleil vaut environ :
$HS \approx 675~992,46$ km
(soit $HS \approx 675~992$ km si on arrondit au km près).

👉 Conseil : garde 1 ou 2 décimales pendant le calcul, puis arrondis seulement à la fin (ça évite les erreurs sur les décimales).

Exercice 2

On considère un triangle $ABC$ rectangle en $A$ tel que $AB = 4$ cm et $AC = 3$ cm.
$M$ est un point mobile de $[AB]$.
La parallèle à $(AC)$ passant par $M$ coupe $(BC)$ en $N$.
La parallèle à $(BC)$ passant par $M$ coupe $(AC)$ en $P$.

On cherche la position de $M$ pour que le périmètre de $MNCP$ soit égal à $9$ cm.
On note $AM = x$.

1) Mettre en place les rapports de Thalès

Comme $MP \parallel BC$, les triangles $AMP$ et $ABC$ sont semblables.

On peut donc écrire l’égalité des rapports (comme dans ta correction élève) :
$\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AP}{AC}=\dfrac{PM}{CB}$

En remplaçant $AM$ par $x$ et $AB$ par $4$ :
$\dfrac{x}{4}=\dfrac{AP}{3}=\dfrac{PM}{CB}$

👉 Conseil : dès que tu vois une droite parallèle à un côté d’un triangle, pense « triangles semblables » et « Thalès ».

2) Calculer $CB$ avec Pythagore

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, donc $BC$ est l’hypoténuse.

Par Pythagore :
$AB^2+AC^2=BC^2$

$4^2+3^2=BC^2$

$16+9=BC^2$

$25=BC^2$

Donc : $BC=5$ cm

👉 Conseil : dans un triangle rectangle, vérifie toujours quel côté est l’hypoténuse : c’est celui “en face” de l’angle droit.

3) Exprimer $PM$ en fonction de $x$

On reprend le rapport :
$\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{PM}{CB}$

$\dfrac{x}{4}=\dfrac{PM}{5}$

On multiplie par $5$ :
$PM=\dfrac{5x}{4}$

Donc : $PM = 1,25x$

4) Exprimer $PC$ en fonction de $x$

On utilise maintenant :
$\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AP}{AC}$

$\dfrac{x}{4}=\dfrac{AP}{3}$

On multiplie par $3$ :
$AP=\dfrac{3x}{4}$

Donc :
$AP = 0,75x$

Comme $P$ est sur $[AC]$, on a :
$PC = AC - AP$

$PC = 3 - 0,75x$

👉 Conseil : pour obtenir une longueur comme $PC$, pense “longueur totale moins la partie déjà exprimée”.

5) Exprimer le périmètre de $MNCP$ en fonction de $x$

Dans cette configuration, le quadrilatère $MNCP$ est un rectangle (côtés opposés parallèles) :
$MN = PC$ et $NC = PM$

Donc :
$P_{MNCP} = MN + NC + CP + PM$

Ce qui revient à :
$P_{MNCP} = 2(PM + PC)$

On remplace :
$P_{MNCP} = 2(1,25x + 3 - 0,75x)$

On simplifie l’intérieur :
$1,25x - 0,75x = 0,5x$

Donc :
$P_{MNCP} = 2(0,5x + 3)$

On développe :
$P_{MNCP} = x + 6$

6) Résoudre le problème : périmètre égal à $9$ cm

On veut :
$P_{MNCP} = 9$

Donc l’équation est :
$x + 6 = 9$

On résout :
$x = 9 - 6$

$x = 3$

Conclusion :
$AM = 3$ cm, donc $M$ est placé sur $[AB]$ à $3$ cm de $A$.

👉 Conseil : pense à vérifier que $x$ est possible : ici $0 \le x \le 4$, et $x=3$ convient parfaitement.