Le théorème de Thalès

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Dans cette leçon, tu découvriras Thalès de Milet, un grand penseur de l'Antiquité, et son célèbre théorème, qui permet de calculer des longueurs dans des triangles emboîtés lorsque certaines droites sont parallèles. À travers des exemples pratiques, tu verras comment appliquer ce théorème pour résoudre des problèmes géométriques. Mots-clés : Thalès, théorème de Thalès, triangles emboîtés, géométrie, parallélisme, calcul de longueur.

I. Thalès, c'est qui ?

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De son vrai nom Thalès de Milet, a vécu de 625 av JC à 547 av JC.

Célèbre pour un théorème qu'il n'a ni découvert, ni démontré (la démonstration du théorème de Thalès a été réalisée par Euclide 3 siècles après sa découverte), Thalès de Milet était un philosophe, un homme d'état, un ingénieur, un mathématicien... mais surtout un astronome réputé.

II. Le théorème de Thalès dans une configuration triangles emboîtés

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Dans un triangle ABCABC, si MM est un point du côté [AB][AB], NN un point du côté [AC][AC],

et si les droites (BC)(BC) et (MN)(MN) sont parallèles, alors : AMAB=ANAC=MNBC\dfrac{\text{AM}}{\text{AB}} = \dfrac{\text{AN}}{\text{AC}} = \dfrac{\text{MN}}{\text{BC}}

Remarque :

On a exactement la même propriété dans la configuration suivante :

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III. Application : calculer une longueur manquante

Énoncé

Sur la figure ci-dessous (qui n'est pas à l'échelle), les triangles PQNPQN et PRMPRMsont tels que (QN)(QN) et (RM)(RM) sont parallèles.Que vaut la longueur PMPM ?

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Solution

On sait que (QN)(RM)(QN)\parallel (RM)

Les triangles PNQPNQ et PMRPMR sont des triangles emboîtés dans la configuration de Thalès.

On peut écrire : PNPM=PQPR=QNRM\dfrac{PN}{PM}= \dfrac{PQ}{PR}= \dfrac{QN}{RM}

Remplaçons par les longueurs connues.

4PM=PQPR=35\dfrac{4}{PM}= \dfrac{PQ}{PR}= \dfrac{3}{5}

Le quotient "du milieu" n'est pas utile ici. On a : 4PM=35\dfrac{4}{PM}=\dfrac{3}{5}

On en déduit que : 4×5=3×PM4\times 5=3\times PM en faisant un produit en croix.

20=3×PM20=3\times PM d'où en divisant les deux membres par 33, on obtient :

PM=203PM=\dfrac {20}{3} soit en valeur approchée environ 6,76,7 unités de longueur.