Thalès et algèbre : démontrer un parallélisme

Exercice

1) Dans cette question seulement, on pose $x = 1$

On calcule d’abord les longueurs.

$AB = 2x + 4 = 2\times1 + 4 = 6$

$AC = 2x = 2\times1 = 2$

Sur la figure, on lit aussi :

$AD = x + 2 = 1 + 2 = 3$

$AE = x = 1$

1)a) Démontrer que $(DE)$ et $(BC)$ sont parallèles

Les points $A,D,B$ sont alignés et les points $A,E,C$ sont alignés.

On calcule les rapports :

$\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{1}{2}$

Comme $\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}$, alors d’après la réciproque du théorème de Thalès, on conclut :

$(DE)\parallel(BC)$

👉 Conseil : pour prouver un parallélisme dans un triangle, pense à Thalès (ou sa réciproque) dès que tu vois des points alignés sur deux côtés.

1)b) Que peut-on dire des points $D$ et $E$ ? Justifier.

On a :

$\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{1}{2}$ donc $AD=\dfrac{1}{2}AB$

Comme $D$ est sur $[AB]$, cela signifie que $D$ est le milieu de $[AB]$.

De même :

$\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{1}{2}$ donc $AE=\dfrac{1}{2}AC$

Comme $E$ est sur $[AC]$, cela signifie que $E$ est le milieu de $[AC]$.

Conclusion : $D$ est le milieu de $[AB]$ et $E$ est le milieu de $[AC]$.

👉 Conseil : “rapport égal à $\dfrac{1}{2}$” sur un segment, c’est souvent le signe qu’on te fait trouver un milieu.

2) Démontrer que $(DE)$ et $(BC)$ sont parallèles quelle que soit la valeur de $x$ strictement positive

On travaille maintenant avec $x>0$.

D’après la figure :

$AD = x + 2$ et $AE = x$

On sait aussi :

$AB = 2x + 4$ et $AC = 2x$

On calcule les rapports :

$\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{x+2}{2x+4}$

Or $2x+4 = 2(x+2)$, donc :

$\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{x+2}{2(x+2)}=\dfrac{1}{2}$

Ensuite :

$\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{x}{2x}=\dfrac{1}{2}$ (possible car $x>0$)

On obtient donc :

$\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}$

Avec $A,D,B$ alignés et $A,E,C$ alignés, la réciproque de Thalès donne :

$(DE)\parallel(BC)$ pour tout $x$ strictement positif.

👉 Conseil : quand une expression comme $2x+4$ se factorise en $2(x+2)$, fais-le tout de suite : ça simplifie les rapports et évite les erreurs.