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Produit scalaire (3)

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Exercice 1

On considère un triangle $ABC$ .

Démontrer que pour tout point $M$ du plan on a :

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{BM}=0$

Soit $H$ le point d’intersection des hauteurs issues de $B$ et de $C$ . En utilisant la relation précédente, montrer que $(AH)$ et $(BC)$ sont perpendicuaires.
En déduire que les hauteurs du triangle $ABC$ sont concourantes en $H$ .

Exercice 2

On considère le cercle $\mathcal{C}$ de centre $O(3~;~1)$ et de rayon $\sqrt{5}$ et le point $A(4~;~3)$ .

Montrer que le point $A$ appartient au cercle $\mathcal{C}$ .
Déterminer une équation de la tangente au cercle $\mathcal{C}$ au point $A$ .

Exercice 3

On considère un triangle $ABC$ tel que $AB=2$ , $AC=3$ et $\widehat{ABC}=60^\circ$ .

Déterminer la distance $BC$ .

Révéler le corrigé

Exercice 1

Pour tout point $M$ du plan on a :

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{BM}$

$=(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}).\overrightarrow{CM}+(\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MC}).\overrightarrow{AM}+(\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{MA}).\overrightarrow{BM}$

$=\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{BM}.\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{CM}.\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{BM}$

$=\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{CM}-\overrightarrow{BM}.\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{BM}.\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{CM}.\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{CM}.\overrightarrow{BM}-\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM}$

$=0$

$H$ le point d’intersection des hauteurs issues de $B$ et de $C$ .

Donc $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BH}=0$ et $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CH}=0$

On utilise le résultat de la question précédente avec $M=H$

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CH}+\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{BH}=0\iff\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AH}=0$

Donc $(AH)$ et $(BC)$ sont perpendiculaires.

$(AH)$ , $(BH)$ et $(CH)$ sont trois hauteurs du triangle $ABC$ .

Le point $H$ appartient à chacune d’entre elles.

Les hauteurs du triangle sont donc concourantes en $H$ .

Exercice 2

Une équation du cercle $\mathcal{C}$ est $(x-3)^2+(y-1)^2=5$ .

Regardons si les coordonnées du point $A$ vérifient cette équation.

$(4-3)^2+(3-1)^2=1^2+2^2=5$ .

Le point $A$ appartient bien au cercle $\mathcal{C}$ .

On appelle $(d)$ la tangente au cercle $\mathcal{C}$ au point $A$ .

Soit $M(x~;~y)$ un point du plan.

$\overrightarrow{AM}(x-4~;~y-3)$ et $\overrightarrow{OA}(1~;~2)$ .

$M\in(d)\iff\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{OA}=0$

$\iff(x-4)\times1+(y-3)\times2=0$

$\iff x-4+2y-6=0$

$\iff x+2y-10=0$

Une équation de la tangente au cercle $\mathcal{C}$ au point $A$ est donc $x+2y-10=0$ .

Exercice 3

On utilise le théorème d’Al-Kashi :

$AC^2=AB^2+BC^2-2AB\times BC\times\cos\widehat{ABC}$

Ainsi $BC^2-4BC\times\cos60+4-9=0$

Soit $BC^2-2BC-5=0$

On est ramené à résoudre une équation du second degré.

$\Delta=4+20=24>0$

Cette équation possède deux solutions : $\alpha=\dfrac{2-\sqrt{24}}{2}=1-\sqrt{6}<0$ et $\beta=1+\sqrt{6}>0$

Par conséquent $BC=1+\sqrt{6}$

Quel contenu veux-tu voir ?

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$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{BM}=0$

Soit $H$ le point d’intersection des hauteurs issues de $B$ et de $C$ . En utilisant la relation précédente, montrer que $(AH)$ et $(BC)$ sont perpendicuaires.
En déduire que les hauteurs du triangle $ABC$ sont concourantes en $H$ .

Exercice 2

On considère le cercle $\mathcal{C}$ de centre $O(3~;~1)$ et de rayon $\sqrt{5}$ et le point $A(4~;~3)$ .

Montrer que le point $A$ appartient au cercle $\mathcal{C}$ .
Déterminer une équation de la tangente au cercle $\mathcal{C}$ au point $A$ .

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On considère un triangle $ABC$ tel que $AB=2$ , $AC=3$ et $\widehat{ABC}=60^\circ$ .

Déterminer la distance $BC$ .

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Pour tout point $M$ du plan on a :

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{BM}$

$=(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}).\overrightarrow{CM}+(\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MC}).\overrightarrow{AM}+(\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{MA}).\overrightarrow{BM}$

$=0$

$H$ le point d’intersection des hauteurs issues de $B$ et de $C$ .

Donc $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BH}=0$ et $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CH}=0$

On utilise le résultat de la question précédente avec $M=H$

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CH}+\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{BH}=0\iff\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AH}=0$

Donc $(AH)$ et $(BC)$ sont perpendiculaires.

$(AH)$ , $(BH)$ et $(CH)$ sont trois hauteurs du triangle $ABC$ .

Le point $H$ appartient à chacune d’entre elles.

Les hauteurs du triangle sont donc concourantes en $H$ .

Exercice 2

Une équation du cercle $\mathcal{C}$ est $(x-3)^2+(y-1)^2=5$ .

Regardons si les coordonnées du point $A$ vérifient cette équation.

$(4-3)^2+(3-1)^2=1^2+2^2=5$ .

Le point $A$ appartient bien au cercle $\mathcal{C}$ .

On appelle $(d)$ la tangente au cercle $\mathcal{C}$ au point $A$ .

Soit $M(x~;~y)$ un point du plan.

$\overrightarrow{AM}(x-4~;~y-3)$ et $\overrightarrow{OA}(1~;~2)$ .

$M\in(d)\iff\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{OA}=0$

$\iff(x-4)\times1+(y-3)\times2=0$

$\iff x-4+2y-6=0$

$\iff x+2y-10=0$

Une équation de la tangente au cercle $\mathcal{C}$ au point $A$ est donc $x+2y-10=0$ .

Exercice 3

On utilise le théorème d’Al-Kashi :

$AC^2=AB^2+BC^2-2AB\times BC\times\cos\widehat{ABC}$

Ainsi $BC^2-4BC\times\cos60+4-9=0$

Soit $BC^2-2BC-5=0$

On est ramené à résoudre une équation du second degré.

$\Delta=4+20=24>0$

Cette équation possède deux solutions : $\alpha=\dfrac{2-\sqrt{24}}{2}=1-\sqrt{6}<0$ et $\beta=1+\sqrt{6}>0$

Par conséquent $BC=1+\sqrt{6}$

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