Produit scalaire dans un repère

Exercice 1

1. $A(1~;~1)\qquad B(2~;~1)\qquad C(3~;~3)$

$\overrightarrow{AB}(1~;~0)$ et $\overrightarrow{AC}(2~;~2)$

Donc $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=1\times2+0\times2=2$

2. $A(0~;~1)\qquad B(-1~;~-1)\qquad C(2~;~-1)$

$\overrightarrow{AB}(-1~;~-2)$ et $\overrightarrow{AC}(2~;~-2)$

Donc $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=-1\times2+(-2)\times(-2)=-2+4=2$

3. $A(2~;~0)\qquad B(0~;~2)\qquad C(1~;~-1)$

$\overrightarrow{AB}(-2~;~2)$ et $\overrightarrow{AC}(-1~;~-1)$

Donc $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=-2\times(-1)+2\times(-1)=2-2=0$

Exercice 2

Dans le plan muni d’un repère orthonormé $(O~;~\vec{i}~,~\vec{j})$ on considère les points :

$A(-2~;~0)\qquad B(1~;~\sqrt{3})\qquad C(-2~;~2\sqrt{3})$

$\overrightarrow{AB}(3~;~\sqrt{3})$ et $\overrightarrow{AC}(0~;~2\sqrt{3})$

Donc $||\overrightarrow{AB}||=\sqrt{9+3}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$

Et $|-\overrightarrow{AC}||=\sqrt{0+12}=2\sqrt{3}$

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=3\times0+2\sqrt{3}\times\sqrt{3}=6$

Or $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=||\overrightarrow{AB}||\times||\overrightarrow{AC}||\times\cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=2\sqrt{3}\times2\sqrt{3}\times\cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$

Par conséquent $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=12\cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$

Donc $\cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=\dfrac{6}{12}=\dfrac{1}{2}$.

On sait que $\cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=\dfrac{1}{2}>0$. Cela signifie donc que $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\in\left[-\dfrac{\pi}{2}~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$.

Ainsi $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=-\dfrac{\pi}{3}$ ou $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=\dfrac{\pi}{3}$.

On place les points dans un repère et on en déduit que $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=\dfrac{\pi}{3}$.

Le triangle $ABC$ est donc isocèle en $A$ et $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=\dfrac{\pi}{3}$.

On en déduit donc qu’il est équilatéral.