Dans cette fiche, tu vas t’entraîner à calculer un produit scalaire, des normes de vecteurs et un cosinus d’angle dans un repère orthonormé. Tu apprendras ensuite à interpréter ces résultats pour déterminer la nature d’un triangle, avec un raisonnement clair et progressif, exactement comme à l’examen.
Énoncé
Exercice 1
On munit le plan d’un repère orthonormé (O;i,j). Calculer AB.AC lorsque :
A(1;1)B(2;1)C(3;3)
A(0;1)B(−1;−1)C(2;−1)
A(2;0)B(0;2)C(1;−1)
Exercice 2
Dans le plan muni d’un repère orthonormé (O;i,j) on considère les points :
A(−2;0)B(1;3)C(−2;23)
Calculer ∣∣AB∣∣, ∣∣AC∣∣ et cos(AB,AC).
En déduire la mesure principale de l’angle (AB,AC) puis la nature du triangle ABC.
Révéler le corrigé
Exercice 1
A(1;1)B(2;1)C(3;3)
AB(1;0) et AC(2;2)
Donc AB.AC=1×2+0×2=2
A(0;1)B(−1;−1)C(2;−1)
AB(−1;−2) et AC(2;−2)
Donc AB.AC=−1×2+(−2)×(−2)=−2+4=2
A(2;0)B(0;2)C(1;−1)
AB(−2;2) et AC(−1;−1)
Donc AB.AC=−2×(−1)+2×(−1)=2−2=0
Exercice 2
Dans le plan muni d’un repère orthonormé (O;i,j) on considère les points :
A(−2;0)B(1;3)C(−2;23)
AB(3;3) et AC(0;23)
Donc ∣∣AB∣∣=9+3=12=23
Et ∣−AC∣∣=0+12=23
AB.AC=3×0+23×3=6
Or AB.AC=∣∣AB∣∣×∣∣AC∣∣×cos(AB,AC)=23×23×cos(AB,AC)
Par conséquent AB.AC=12cos(AB,AC)
Donc cos(AB,AC)=126=21.
On sait que cos(AB,AC)=21>0. Cela signifie donc que (AB,AC)∈[−2π;2π].
Ainsi (AB,AC)=−3π ou (AB,AC)=3π.
On place les points dans un repère et on en déduit que (AB,AC)=3π.
Le triangle ABC est donc isocèle en A et (AB,AC)=3π.
