Probabilité, matrice et algorithme

Énoncé

Chaque jeune parent utilise chaque mois une seule marque de petits pots pour bébé. Trois marques $X$ , $Y$ et $Z$ se partagent le marché. Soit $n$ un entier naturel.
On note :
$X_{n}$ l'événement «la marque $X$ est utilisée le mois $n$ »,
$Y_{n}$ l'événement «la marque $Y$ est utilisée le mois $n$ »,
$Z_{n}$ l'événement «la marque $Z$ est utilisée le mois $n$ ».

Les probabilités des événements $X_{n}$ , $Y_{n}$ , $Z_{n}$ sont notées respectivement $x_{n}$ , $y_{n}$ , $z_{n}$ .
La campagne publicitaire de chaque marque fait évoluer la répartition.

Un acheteur de la marque $X$ le mois $n$ , a le mois suivant :
50% de chance de rester fidèle à cette marque,
40% de chance d'acheter la marque $Y$ ,
10% de chance d'acheter la marque $Z$ .

Un acheteur de la marque $Y$ le mois $n$ , a le mois suivant :
30% de chance de rester fidèle à cette marque,
50% de chance d'acheter la marque $X$ ,
20% de chance d'acheter la marque $Z$ .

Un acheteur de la marque $Z$ le mois $n$ , a le mois suivant :
70% de chance de rester fidèle à cette marque,
10% de chance d'acheter la marque $X$ ,
20% de chance d'acheter la marque $Y$ .

a) Exprimer $x_{n+1}$ en fonction de $x_{n}$ , $y_{n}$ et $z_{n}$ .
On admet que :
$y_{n+1}=0,4x_{n}+0,3y_{n}+0,2z_{n}$ et que $z_{n+1}=0,1x_{n}+0,2y_{n}+0,7z_{n}$ .
b) Exprimer $z_{n}$ en fonction de $x_{n}$ et $y_{n}$ . En déduire l'expression de $x_{n+1}$ et $y_{n+1}$ en fonction de $x_{n}$ et $y_{n}$ .
On définit la suite $\left(U_{n}\right)$ par $U_{n}=\begin{pmatrix}x_{n}\y_{n}\end{pmatrix}$ pour tout entier naturel $n$ .
On admet que, pour tout entier naturel $n$ , $U_{n+1}=A\times U_{n}+B$ où $A=\begin{pmatrix}0,4&0,4\\0,2&0,1\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}0,1\\0,2\end{pmatrix}$ .
Au début de l'étude statistique (mois de janvier 2014 : $n=0$ ), on estime que $U_{0}=\begin{pmatrix}0,5\\0,3\end{pmatrix}$ .
On considère l'algorithme suivant :
a) Donner les résultats affichés par cet algorithme pour $n=1$ puis pour $n=3$ .
b) Quelle est la probabilité d'utiliser la marque $X$ au mois d'avril ?
Dans la suite de l'exercice, on cherche à déterminer une expression de $U_{n}$ en fonction de $n$ .
On note $I$ la matrice $\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ et $N$ la matrice $I-A$ .
1. On désigne par $C$ une matrice colonne à deux lignes.
  a) Démontrer que $C=A\times C+B$ équivaut à $N\times C=B$ .
  b) On admet que $N$ est une matrice inversible et que $N^{-1}=\begin{pmatrix}\dfrac{45}{23}&\dfrac{20}{23}\\[3mm]\dfrac{10}{23}&\dfrac{30}{23}\end{pmatrix}$ .
2. En déduire que $C=\begin{pmatrix}\dfrac{17}{46}\\[3mm]\dfrac{7}{23}\end{pmatrix}$ .
3. On note $V_{n}$ la matrice telle que $V_{n}=U_{n}-C$ pour tout entier naturel $n$ .
  a) Montrer que, pour tout entier naturel $n$ , $V_{n+1}=A\times V_{n}$ .
  b) On admet que $U_{n}=A^n\times\left(U_{0}-C\right)+C$ .
  Quelles sont les probabilités d'utiliser les marques $X$ , $Y$ et $Z$ au mois de mai ?

a) En probabilité, 50 % des acheteurs de la marque $X$ au mois $n$ continue d'acheter la marque $X$ au mois $n+1$ ; 50% des acheteurs de la marque $Y$ au mois $n$ achète la marque $X$ au mois $n+1$ ; 10% des acheteurs de la marque $Z$ au mois $n$ achète la marque $X$ au mois $n+1$ . Ainsi, $\boxed{x_{n+1}=0,5x_n+0,5y_n+0,1z_n}$ .
De la même manière, on trouve les résultats admis par l'énoncé : $y_{n+1}=0,4x_n+0,3y_n+0,2z_n$ et $z_{n+1}=0,1x_n+0,2y_n+0,7z_n$ .
b) Comme il n'y a que les trois marques $X$ , $Y$ et $Z$ qui se partagent le marché, les probabilités $x_n,\ y_n$ et $z_n$ vérifient $x_n+y_n+z_n=1$ donc $\boxed{z_n=1-x_n-y_n}$ .
Alors, d'après la question précédente, $\left\lbrace\begin{matrix}x_{n+1}=0,4x_n+0,4y_n+0,1\\y_{n+1}=0,2x_n+0,1y_n+0,2\end{matrix}\right.$
a) Étapes de l'algorithme :
L'algorithme affiche donc $\begin{pmatrix}0,42\\0,33\end{pmatrix}$ pour $n=1$ et $\begin{pmatrix}0,3868\\0,3117\end{pmatrix}$ pour $n=3$ .
Le mois d'avril correspond à $n=3$ donc la probabilité d'utiliser la marque $X$ au mois d'avril est 0,3868.
1. a) On a $C=A\times C+B\Longleftrightarrow C=(I-N)\times C+B\Longleftrightarrow C=I\times C-N\times C+B\Longleftrightarrow C=C-NC+B \Longleftrightarrow NC=B$ .
2. b) $NC=B$ si et seulement si $C=N^{-1}B=\begin{pmatrix}\dfrac{45}{23}\times0,1+\dfrac{20}{23}\times0,2\\[3mm]\dfrac{10}{23}\times0,1+\dfrac {30}{23}\times0,2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{45+40}{230}\\[3mm]\dfrac{10+60}{230}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{17}{46}\\[3mm]\dfrac{7}{23}\end{pmatrix}$ .
3. a) Pour tout $n\in\mathbb{N},\ V_{n+1}=U_{n+1}-C=A\times U_n+B-C$ .
  Or $C=A\times C+B$ donc $V_{n+1}=A\times U_n+B-A\times C-B=A\times(U_n-C)=A\times V_n$ .
  Ainsi, $\boxed{\forall n\in\mathbb{N},\ V_{n+1}=A\times V_n}$ .
4. b) Le mois de mai correspond à $n=4$ . Comme on a déjà calculer $U_3$ , il vaut mieux utiliser l'expression $U_{4}=AU_3+B$ plutôt que de calculer $A^4$ ! On obtient $\begin{pmatrix}x_4\\y_4\end{pmatrix}=U_4=\begin{pmatrix}0,3794\\0,30853\end{pmatrix}$ .
  Ainsi, $\boxed{x_4=0,3794,\ y_4=0,30853,\ z_4=1-x_4-y_4=0,31207}$ .
Remarque : L'énoncé admet que $\forall n\in\mathbb{N},\ U_n=A^n\times(U_0-C)+C$ . À titre d'exercice en plus, démontrons-le !
Si on avait affaire à des suites numériques, on dirait que la suite $V_n$ est géométrique de raison $A$ , et on obtiendrait $V_n=A^n\times V_0$ (attention, ici l'ordre dans lequel on fait le produit est capital ! le produit $V_0\times A^n$ n'a aucun sens...). Mais c'est exactement ce qu'on veut prouver !! Il y a donc des chances pour qu'on puisse adapter la démonstration faite dans le cas des suites géométriques à notre exemple. C'est pourquoi :
Montrons par récurrence sur $n\in\mathbb{N}$ que $V_n=A^n\times V_0$ .
$n=0$ : on a $A^0=I$ et $I\times V_0=V_0$ donc la propriété est vraie au rang $n=0$ .
Soit $n\in\mathbb{N}$ tel que $V_n=A^n\times V_0$ .
D'après la question précédente, $V_{n+1}=A\times V_n$ donc par hypothèse de récurrence $V_{n+1}=A\times(A^n\times V_0)=A^{n+1}\times V_0$ .
D'où le résultat.

Énoncé

Les probabilités des événements $X_{n}$ , $Y_{n}$ , $Z_{n}$ sont notées respectivement $x_{n}$ , $y_{n}$ , $z_{n}$ .
La campagne publicitaire de chaque marque fait évoluer la répartition.

Un acheteur de la marque $X$ le mois $n$ , a le mois suivant :
50% de chance de rester fidèle à cette marque,
40% de chance d'acheter la marque $Y$ ,
10% de chance d'acheter la marque $Z$ .

Un acheteur de la marque $Y$ le mois $n$ , a le mois suivant :
30% de chance de rester fidèle à cette marque,
50% de chance d'acheter la marque $X$ ,
20% de chance d'acheter la marque $Z$ .

Un acheteur de la marque $Z$ le mois $n$ , a le mois suivant :
70% de chance de rester fidèle à cette marque,
10% de chance d'acheter la marque $X$ ,
20% de chance d'acheter la marque $Y$ .

a) Exprimer $x_{n+1}$ en fonction de $x_{n}$ , $y_{n}$ et $z_{n}$ .
On admet que :
$y_{n+1}=0,4x_{n}+0,3y_{n}+0,2z_{n}$ et que $z_{n+1}=0,1x_{n}+0,2y_{n}+0,7z_{n}$ .
b) Exprimer $z_{n}$ en fonction de $x_{n}$ et $y_{n}$ . En déduire l'expression de $x_{n+1}$ et $y_{n+1}$ en fonction de $x_{n}$ et $y_{n}$ .
On définit la suite $\left(U_{n}\right)$ par $U_{n}=\begin{pmatrix}x_{n}\y_{n}\end{pmatrix}$ pour tout entier naturel $n$ .
On admet que, pour tout entier naturel $n$ , $U_{n+1}=A\times U_{n}+B$ où $A=\begin{pmatrix}0,4&0,4\\0,2&0,1\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}0,1\\0,2\end{pmatrix}$ .
Au début de l'étude statistique (mois de janvier 2014 : $n=0$ ), on estime que $U_{0}=\begin{pmatrix}0,5\\0,3\end{pmatrix}$ .
On considère l'algorithme suivant :
a) Donner les résultats affichés par cet algorithme pour $n=1$ puis pour $n=3$ .
b) Quelle est la probabilité d'utiliser la marque $X$ au mois d'avril ?
Dans la suite de l'exercice, on cherche à déterminer une expression de $U_{n}$ en fonction de $n$ .
On note $I$ la matrice $\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ et $N$ la matrice $I-A$ .
1. On désigne par $C$ une matrice colonne à deux lignes.
  a) Démontrer que $C=A\times C+B$ équivaut à $N\times C=B$ .
  b) On admet que $N$ est une matrice inversible et que $N^{-1}=\begin{pmatrix}\dfrac{45}{23}&\dfrac{20}{23}\\[3mm]\dfrac{10}{23}&\dfrac{30}{23}\end{pmatrix}$ .
2. En déduire que $C=\begin{pmatrix}\dfrac{17}{46}\\[3mm]\dfrac{7}{23}\end{pmatrix}$ .
3. On note $V_{n}$ la matrice telle que $V_{n}=U_{n}-C$ pour tout entier naturel $n$ .
  a) Montrer que, pour tout entier naturel $n$ , $V_{n+1}=A\times V_{n}$ .
  b) On admet que $U_{n}=A^n\times\left(U_{0}-C\right)+C$ .
  Quelles sont les probabilités d'utiliser les marques $X$ , $Y$ et $Z$ au mois de mai ?

a) En probabilité, 50 % des acheteurs de la marque $X$ au mois $n$ continue d'acheter la marque $X$ au mois $n+1$ ; 50% des acheteurs de la marque $Y$ au mois $n$ achète la marque $X$ au mois $n+1$ ; 10% des acheteurs de la marque $Z$ au mois $n$ achète la marque $X$ au mois $n+1$ . Ainsi, $\boxed{x_{n+1}=0,5x_n+0,5y_n+0,1z_n}$ .
De la même manière, on trouve les résultats admis par l'énoncé : $y_{n+1}=0,4x_n+0,3y_n+0,2z_n$ et $z_{n+1}=0,1x_n+0,2y_n+0,7z_n$ .
b) Comme il n'y a que les trois marques $X$ , $Y$ et $Z$ qui se partagent le marché, les probabilités $x_n,\ y_n$ et $z_n$ vérifient $x_n+y_n+z_n=1$ donc $\boxed{z_n=1-x_n-y_n}$ .
Alors, d'après la question précédente, $\left\lbrace\begin{matrix}x_{n+1}=0,4x_n+0,4y_n+0,1\\y_{n+1}=0,2x_n+0,1y_n+0,2\end{matrix}\right.$
a) Étapes de l'algorithme :
L'algorithme affiche donc $\begin{pmatrix}0,42\\0,33\end{pmatrix}$ pour $n=1$ et $\begin{pmatrix}0,3868\\0,3117\end{pmatrix}$ pour $n=3$ .
Le mois d'avril correspond à $n=3$ donc la probabilité d'utiliser la marque $X$ au mois d'avril est 0,3868.
1. a) On a $C=A\times C+B\Longleftrightarrow C=(I-N)\times C+B\Longleftrightarrow C=I\times C-N\times C+B\Longleftrightarrow C=C-NC+B \Longleftrightarrow NC=B$ .
2. b) $NC=B$ si et seulement si $C=N^{-1}B=\begin{pmatrix}\dfrac{45}{23}\times0,1+\dfrac{20}{23}\times0,2\\[3mm]\dfrac{10}{23}\times0,1+\dfrac {30}{23}\times0,2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{45+40}{230}\\[3mm]\dfrac{10+60}{230}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{17}{46}\\[3mm]\dfrac{7}{23}\end{pmatrix}$ .
3. a) Pour tout $n\in\mathbb{N},\ V_{n+1}=U_{n+1}-C=A\times U_n+B-C$ .
  Or $C=A\times C+B$ donc $V_{n+1}=A\times U_n+B-A\times C-B=A\times(U_n-C)=A\times V_n$ .
  Ainsi, $\boxed{\forall n\in\mathbb{N},\ V_{n+1}=A\times V_n}$ .
4. b) Le mois de mai correspond à $n=4$ . Comme on a déjà calculer $U_3$ , il vaut mieux utiliser l'expression $U_{4}=AU_3+B$ plutôt que de calculer $A^4$ ! On obtient $\begin{pmatrix}x_4\\y_4\end{pmatrix}=U_4=\begin{pmatrix}0,3794\\0,30853\end{pmatrix}$ .
  Ainsi, $\boxed{x_4=0,3794,\ y_4=0,30853,\ z_4=1-x_4-y_4=0,31207}$ .
Remarque : L'énoncé admet que $\forall n\in\mathbb{N},\ U_n=A^n\times(U_0-C)+C$ . À titre d'exercice en plus, démontrons-le !
Si on avait affaire à des suites numériques, on dirait que la suite $V_n$ est géométrique de raison $A$ , et on obtiendrait $V_n=A^n\times V_0$ (attention, ici l'ordre dans lequel on fait le produit est capital ! le produit $V_0\times A^n$ n'a aucun sens...). Mais c'est exactement ce qu'on veut prouver !! Il y a donc des chances pour qu'on puisse adapter la démonstration faite dans le cas des suites géométriques à notre exemple. C'est pourquoi :
Montrons par récurrence sur $n\in\mathbb{N}$ que $V_n=A^n\times V_0$ .
$n=0$ : on a $A^0=I$ et $I\times V_0=V_0$ donc la propriété est vraie au rang $n=0$ .
Soit $n\in\mathbb{N}$ tel que $V_n=A^n\times V_0$ .
D'après la question précédente, $V_{n+1}=A\times V_n$ donc par hypothèse de récurrence $V_{n+1}=A\times(A^n\times V_0)=A^{n+1}\times V_0$ .
D'où le résultat.

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