Matrices et systèmes linéaires

I. Système linéaire

On considère le système linéaire suivant :

$\left\lbrace\begin{matrix} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n = b_2\\ \qquad\cdots\qquad \quad\quad\quad\quad\quad\quad= \\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \ldots + a_{nn}x_n = b_n \end{matrix}\right.$

Propriété : un système linéaire de la forme ci-dessus est équivalent à l’équation $AX = B$ où :

Si $A$ est inversible, alors l’équation $AX = B$ admet pour unique solution : $X = A^{-1}B$

II. Exemple de résolution d'un système linéaire à l'aide des matrices

Soit à résoudre le système $\left\lbrace\begin{matrix}2x + 3y = 5 \\ 4x -~ y = 1\end{matrix}\right.$

$1.$ Transcription matricielle :

On pose : $A = \begin{pmatrix} 2 \quad ~3 \\ 4 \quad -1 \end{pmatrix}$ ; $X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix}$

Alors le système s’écrit : $AX = B$

$2.$ Calcul du déterminant de $A$ :

$\det(A) = 2 \times (-1) - 4 \times 3 = -2 - 12 = -14$

$3.$ $A$ est inversible car $\det(A) \ne 0$. Calcul de $A^{-1}$ :

$A^{-1} = \dfrac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} -1 \quad -3 \\ -4 \quad ~ 2 \end{pmatrix}= \dfrac{1}{-14} \begin{pmatrix} -1 \quad -3 \\ -4 \quad ~ 2 \end{pmatrix}$

$4.$ Calcul de $X = A^{-1}B$ :

$X = \dfrac{1}{-14} \begin{pmatrix} -1 \quad -3 \\ -4 \quad 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix}$

On effectue le produit matriciel :

$\begin{pmatrix} -1 \times 5 + (-3) \times 1 \\ -4 \times 5 + 2 \times 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 - 3 \\ -20 + 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8 \\ -18 \end{pmatrix}$

Donc :

$X = \dfrac{1}{-14} \begin{pmatrix} -8 \\ -18 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dfrac{4}{7} \\ \dfrac{9}{7} \end{pmatrix}$

$5.$ Conclusion : la solution du système s'écrit $S=\left\lbrace\left(\dfrac 47;\dfrac 97\right)\right\rbrace$