Produit de matrices, matrice inversible

I. Produit de matrices

Soit $A = (a_{ij})$ une matrice de dimension $n \times p$ et $B = (b_{ij})$ une matrice de dimension $m \times q$.

Le produit matriciel $AB$ est défini si, et seulement si $p = m$.

Alors $AB = (p_{ij})$ où, pour tous $i \in {1 ; 2 ; \ldots ; n}$ et $j \in {1 ; 2 ; \ldots ; q}$,
$p_{ij} = \displaystyle\sum_{k=1}^{p} a_{ik} , b_{kj}$

Exemple :

Remarque : dans le produit $AB$, le nombre de colonnes de $A$ doit être égal au nombre de lignes de $B$.

II. Propriétés : Règles sur le produit de matrices

Soient $A$, $B$ et $C$ trois matrices, et soit $k$ un nombre réel.
Les propriétés suivantes sont valables sous réserve que les calculs soient possibles.

$\circ\quad$ La multiplication est associative : $(AB)C = A(BC) = ABC$

$\circ\quad$ La multiplication est distributive : $A(B + C) = AB + AC$ et $(A + B)C = AC + BC$

$\circ\quad$ $(kA)B = A(kB) = k(AB)$

$\circ\quad$ $0_{n,p} A = A 0_{n,p} = 0_{n,p}$

Remarque : le produit matriciel n’est pas commutatif. En effet :

III. Inverse de matrice

Propriété : Matrice identité

Il existe une matrice identité $I_n$ telle que :

$\circ\quad$$A I_n = A$ pour toute matrice $A$ à $n$ colonnes,

$\circ\quad$$I_n A = A$ pour toute matrice $A$ à $n$ lignes.

$I_n$ est la matrice carrée d’ordre $n$ contenant des $1$ sur sa diagonale principale et des $0$ ailleurs.

Exemples :

Définition : Puissance de matrice

Si $A$ est une matrice carrée d’ordre $n$, alors :

$\circ$ $A^p = A A \ldots A$ (avec $p$ facteurs) si $p \ne 0$

$\circ$ $A^0 = I_n$

Définition : Inverse d’une matrice

Une matrice carrée $A$ d’ordre $n$ est dite inversible s’il existe une matrice carrée $B$ d’ordre $n$ telle que : $AB = BA = I_n$

Dans ce cas, $B$ est unique et est appelée la matrice inverse de $A$ ; on note $B = A^{-1}$.

Exemple :

IV. Déterminant d’une matrice

Soit $A = \begin{pmatrix} a~~ c \\ b~~ d \end{pmatrix}$ une matrice carrée d’ordre $2$.
On appelle déterminant de $A$ le nombre : $\det(A) = ad - bc$

Propriété : Inverse d’une matrice carrée d’ordre 2

Soit $A = \begin{pmatrix} a~~ c \\ b~~ d \end{pmatrix}$ une matrice carrée d’ordre $2$.
$A$ est inversible si, et seulement si $\det(A) \ne 0$.

Alors : $A^{-1} = \dfrac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} ~~d \quad -c \\ -b \quad a \end{pmatrix}$

Exemple :