Les matrices

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I. Notion de matrice

Définition :

Une matrice $A$ de dimension $n \times p$ est un tableau à $n$ lignes et $p$ colonnes, composé de nombres réels, appelés coefficients de la matrice.

De façon générale, on note $A = (a_{ij})$, $a_{ij}$ étant le coefficient situé à la $i$-ème ligne et $j$-ème colonne.

L’ensemble des matrices de dimension $n \times p$ est noté $\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})$.

Matrices égales :

Deux matrices $A = (a_{ij})$ et $B = (b_{ij})$ de même dimension $n \times p$ sont égales si, et seulement si : $a_{ij} = b_{ij}$ pour tout $i \in \{1 ; 2 ; \ldots ; n\}$ et $j \in \{1 ; 2 ; \ldots ; p\}$

II. Du vocabulaire

III. Somme de matrices et produit par un réel

$\circ$ Somme de deux matrices :

Deux matrices $A = (a_{ij})$ et $B = (b_{ij})$ sont sommables si, et seulement si, elles ont la même dimension.
Alors $A + B = (s_{ij})$ où $s_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$ pour tout $i \in \{1 ; 2 ; \ldots ; n\}$ et $j \in \{1 ; 2 ; \ldots ; p\}$.

$\circ\quad$Produit d'une matrice par un réel

Pour tout réel $k$, le produit $kA = (p_{ij})$ est défini par $p_{ij} = k , a_{ij}$ pour tout $i \in \{1 ; 2 ; \ldots ; n\}$ et $j \in \{1 ; 2 ; \ldots ; p\}$.

Propriétés : Règles de calcul

Soient $A$, $B$ et $C$ trois matrices de même dimension $n \times p$ et soit $k$ un nombre réel.

$\circ\quad$ L’addition est commutative : $A + B = B + A$.

$\circ\quad$ L’addition est associative : $(A + B) + C = A + (B + C) = A + B + C$.

$\circ\quad$ Le produit par un réel est distributif : $k(A + B) = kA + kB$.

$\circ\quad$ On note $0_{n,p}$ la matrice nulle de dimension $n \times p$ dont tous les coefficients sont nuls.
On a : $A + 0_{n,p} = A$.

$\circ\quad$ $kA = 0_{n,p}$ si, et seulement si, $k = 0$ ou $A = 0_{n,p}$.

IV. Produit de matrices

Soit $A = (a_{ij})$ une matrice de dimension $n \times p$ et $B = (b_{ij})$ une matrice de dimension $m \times q$.

Le produit matriciel $AB$ est défini si, et seulement si $p = m$.

Alors $AB = (p_{ij})$ où, pour tous $i \in {1 ; 2 ; \ldots ; n}$ et $j \in {1 ; 2 ; \ldots ; q}$,
$p_{ij} = \displaystyle\sum_{k=1}^{p} a_{ik} , b_{kj}$

Remarque : dans le produit $AB$, le nombre de colonnes de $A$ doit être égal au nombre de lignes de $B$.

Propriétés : Règles sur le produit de matrices

Soient $A$, $B$ et $C$ trois matrices, et soit $k$ un nombre réel.
Les propriétés suivantes sont valables sous réserve que les calculs soient possibles.

$\circ\quad$ La multiplication est associative : $(AB)C = A(BC) = ABC$

$\circ\quad$ La multiplication est distributive : $A(B + C) = AB + AC$ et $(A + B)C = AC + BC$

$\circ\quad$ $(kA)B = A(kB) = k(AB)$

$\circ\quad$ $0_{n,p} A = A 0_{n,p} = 0_{n,p}$

Remarque : le produit matriciel n’est pas commutatif. Il suffit de prendre un contre-exemple :