Matrice de transition, état stable et algorithme

Partie A

1. Les données de l'énoncé nous permettent de traduire la situation par le graphe probabiliste suivant :

La matrice de transition du graphe probabiliste est $M=\begin{pmatrix}0,85~&~0,15\\0,25~&~0,75\end{pmatrix}$.

2. Montrons que $P=\begin{pmatrix}0,625~&~0,375\end{pmatrix}$ est un état stable du système.

D'une part, 0,625 + 0,375 = 1.

$\text{D'autre part, }~P\times M=\begin{pmatrix}0,625~&~0,375\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}0,85~&~0,15\\ 0,25~&~0,75\end{pmatrix}$

$P\times M=\begin{pmatrix}0,625\times0,85+0,375\times0,25~&~0,625\times0,15+0,375\times0,75\end{pmatrix}$

$P\times M =\begin{pmatrix}0,53125+0,09375~&~0,09375+0,28125\end{pmatrix}$

$P\times M=\begin{pmatrix}0,625~&~0,375\end{pmatrix}$

$P\times M =P\quad \Longrightarrow\boxed{P\times M=P}$

Par conséquent, $P=\begin{pmatrix}0,625~&~0,375\end{pmatrix}$ est un état stable du système.

3. La matrice $M$ de transition ne comporte pas de 0.
   L'état probabiliste $P_n$ à l'étape $n$ converge vers un état $P$ indépendant de l'état initial $P_0$.

Cet état $P$ est l'état probabiliste stable du système, soit $P=\begin{pmatrix}0,625~&~0,375\end{pmatrix}$

Donc, à long terme, la probabilité que le client soit sous contrat avec l'entreprise Alphacopy tendra vers 0,625.
Cela signifie que 62,5 % des contrats d'entretien de photocopieurs seront attribué à l'entreprise Alphacopy.

Par conséquent, puisque l'objectif de l'entreprise Alphacopy est d'obtenir au moins 62% des contrats d'entretien des photocopieurs, elle peut espérer atteindre son objectif, voire même le dépasser de 0,5 %.

Partie B

1. $P_{n+1}=P_n\times M\Longleftrightarrow\begin{pmatrix}a_{n+1}~&~b_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_n~&~b_n\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0,85~&~0,15\\0,25~&~0,75\end{pmatrix}$
   $\Longleftrightarrow\begin{pmatrix}a_{n+1}~&~b_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_n\times0,85+b_n\times0,25~&~a_n\times0,15+b_n\times0,75\end{pmatrix}$
   $\Longleftrightarrow\begin{pmatrix}a_{n+1}~&~b_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,85a_n+0,25b_n~&~0,15a_n+0,75b_n\end{pmatrix}$
   $\Longrightarrow\boxed{a_{n+1}=0,85a_n+0,25b_n}$

Or $a_n+b_n=1\Longrightarrow b_n=1-a_n$

D'où : $a_{n+1}=0,85a_n+0,25(1-a_n)$

$a_{n+1}=0,85a_n+0,25-0,25a_n$

$a_{n+1}=0,60a_n+0,25$

$\Longrightarrow\boxed{a_{n+1}=0,60a_n+0,25}$

2. a. Algorithme complété :

2. b. Les différentes valeurs de $a_n$ suivant les valeurs de $n$ sont reprises dans le tableau suivant (les résultats sont arrondis au millième) :

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline n&0&1&2&3&4&5&6&7\\ \hline a_n&0,46&0,526&0,566&0,589&0,604&0,612&0,617&0,620\\ \hline \end{array}$

La première valeur de $n$ pour laquelle $a_n\geq 0,62$ est $n=7$.

Dans ce cas, 2017 + $n$ = 2017 + 7 = 2024.

D'où l'année affichée en sortie de l'algorithme est 2024.
L'entreprise Alphacopy atteindra son objectif en 2024.

3. $u_n=a_n-0,625\ \ (n\in\mathbb{N})$

4. a. Démontrons que la suite $(u_n)$ est géométrique.

$u_{n+1}=a_{n+1}-0,625\\ \phantom{u_{n+1}}=(0,60a_n+0,25)-0,625\\ \phantom{u_{n+1}}=0,60a_n-0,375\\ \phantom{u_{n+1}}=0,60a_n-0,60\times\dfrac{0,375}{0,60}\\ \phantom{u_{n+1}}=0,60\left(a_n-\dfrac{0,375}{0,60}\right)\\ \phantom{u_{n+1}}=0,60(a_n-0,625)\\ \phantom{u_{n+1}}=0,60\times u_n\\ \Longrightarrow\boxed{u_{n+1}=0,60\times u_n}$

Donc la suite $(u_n)$ est une suite géométrique de raison 0,60 et dont le premier terme est $u_0=a_0-0,625=0,46-0,625=-0,165$.

3. b. Puisque la suite $(u_n)$ est géométrique, nous avons :

$u_n=u_0\times0,60^n\\ u_n=-0,165\times0,60^n\\ \text{Or }~u_n=a_n-0,625\Longrightarrow a_n=u_n+0,625\\ \text{D'où }~\boxed{a_n=-0,165\times0,60^n+0,625}$

3. c. $a_n\geq 0,62$

   $\Longleftrightarrow -0,165\times0,60^n+0,625\geq 0,62$

   $\Longleftrightarrow -0,165\times 0,60^n\geq 0,62-0,625$

   $\Longleftrightarrow -0,165\times 0,60^n\geq -0,005$

   $\Longleftrightarrow 0,60^n\leq\dfrac{-0,005}{-0,165}$

   $\Longleftrightarrow 0,60^n\leq\dfrac{1}{33}$

   $\Longleftrightarrow\ln(0,60^n)\leq\ln\left(\dfrac{1} {33}\right)$

   $\Longleftrightarrow n\ln 0,60\leq -\ln 33$

   $\Longleftrightarrow n\geq\dfrac{-\ln33}{\ln0,60}\ \ (\text{car } \ln0,60<0)$

$\text{Or }~\dfrac{-\ln33}{\ln0,60}\approx6,84$

Le plus petit entier $n$ vérifiant l'inéquation est donc $n=7$.

D'où $a_n\geq0,62\Longleftrightarrow n\geq7\ \ (n\in\mathbb{N})$.

Nous retrouvons ainsi le résultat de la question 2. b.