L'évolution d'une grève grâce à un graphe probabiliste

1. L'état initial $P_1$ est donné par le texte : $P_1 = (0,15 \hspace{10pt} 0,85)$ car le $1$^er jour $15\%$ du personnel souhaite le déclenchement d'une grève.

2. a) Graphe probabiliste

2. b) La matrice de transition associée au graphe est : $M = \left(\begin{array}{lcl} 0,65 & \hspace{5pt} & 0,35\\ 0,33 && 0,67 \end{array}\right)$

3. $P_3 = P_1 M^2$

$M^2 = \left(\begin{array}{lcl} 0,5380 & \hspace{5pt} & 0,4620\\ 0,4356& \hspace{5pt} &0,5644\end{array}\right)$

Donc : $P_3 = \left(\begin{array}{lcl} 0,15 & \hspace{5pt} & 0,85 \end{array}\right) \: \left(\begin{array}{lcl} 0,5380 & \hspace{5pt} & 0,4620\\ 0,4356 & \hspace{5pt} & 0,5644\end{array}\right)$, alors : $P_3 = \left(\begin{array}{lll} 0,45096 & \hspace{5pt} & 0,54904\end{array}\right)$

Le pourcentage des personnes favorables à la grève le $3$^eme jour est $45,1\%$ arrondi au dixième.

4. a) Soit $P(x,y)$ l'état probabiliste stable

$P = PM$ et $x + y = 1$

$(x,y) = (x,y) \left(\begin{array}{lll} 0,65 & \hspace{5pt} & 0,35\\0,33& \hspace{5pt} &0,67\end{array}\right)$ et $x + y = 1$

On a le système : $\left\lbrace\begin{matrix} 0,65x + 0,33y &=& x \\ 0,35x + 0,67y &=& y \ \end{matrix}\right.$ et $x + y = 1$

$x$ et $y$ vérifient donc bien $x = 0,65x + 0,33y$

4. b) $x = 0,65x + 0,33y$ s'écrit $0,35x - 0,33y = 0$, ou encore $35x = 33y$.

$x + y = 1$ s'écrit aussi $33x + 33y = 33$, donc, avec $35x = 33y$, $68x = 33$.

On en déduit $x = \dfrac{33}{68} = 0,485$, puis $y = 1 - 0,485 = 0,515$

4. c) A terme $48,5\%$ de personnes seront favorables au déclenchement de la grève contre $51,5\%$ qui n'y seront pas favorables.