Intersection de droites et de plans

1. a. Montrons que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires.

$\left\lbrace\begin{matrix} A(-1;2;0)\\B(1;2;4)\end{matrix}\right.$ $\Longrightarrow\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}1-(-1)\\2-2 \\4-0\end{pmatrix}$ $\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}2\\0\\4\end{pmatrix}}$

$\left\lbrace\begin{matrix} A(-1;2;0)\\C(-1;1;1)\end{matrix}\right.$ $\Longrightarrow\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}-1-(-1)\\1-2\\1-0\end{pmatrix}$ $\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}}$

Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires car $\dfrac{0}{2}\neq\dfrac{1}{4}.$ D'où les points A, B et C ne sont pas alignés.

b.

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix} 2\times0+0\times(-1)+4\times1\\0+0+4\\4\end{pmatrix}\\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=4}$

c.

$AB=\sqrt{(1-(-1))^2+(2-2)^2+(4-0)^2}$

$=\sqrt{2^2+0^2+4^2}=\sqrt{4+16}$

$\Longrightarrow AB=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$

$AC=\sqrt{(-1-(-1))^2+(1-2)^2+(1-0)^2}$

$=\sqrt{0^2+(-1)^2+1^2}=\sqrt{1+1}$

$\Longrightarrow AC=\sqrt 2$

D'où

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}= AB\times AC\times\cos(\widehat{BAC})\\=2\sqrt{5}\times\sqrt{2}\times\cos(\widehat{BAC})$

$=2\sqrt{10}\cos (\widehat{BAC})$

$\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=2\sqrt{10}\times\cos(\widehat{BAC})}$

$\left\lbrace\begin{matrix}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=4\\\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} 2\sqrt{10}\times\cos(\widehat{BAC})\end{matrix}\right.$ $\Longrightarrow2\sqrt{10}\times\cos(\widehat{BAC})=4$

$\Longrightarrow\cos(\widehat{BAC})=\dfrac{4}{2\sqrt{10}}=\dfrac{2}{\sqrt{10}}$ $\Longrightarrow\widehat{BAC}=\arccos(\dfrac{2}{\sqrt{10}})$

$\Longrightarrow\boxed{\widehat{BAC}\approx51^{\text{o}}\ \ \ \text{(arrondi au degré près)}}$

2. a. Montrons que le vecteur $\overrightarrow{n}$ est orthogonal aux deux vecteurs non colinéaires $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ du plan

Nous savons que $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}2\\-1\\-1\end{pmatrix}\ \ ;\ \ \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}2\\0\\4\end{pmatrix}\ \ ;\ \ \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}$.

$\overrightarrow{n}.\overrightarrow{AB}=2\times2+(-1)\times0+(-1)\times4= 0$

$\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{n}\perp\overrightarrow{AB}}$

$\overrightarrow{n}.\overrightarrow{AC}= 2\times0+(-1)\times(-1)+(-1)\times1=0$

$\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{n}\perp\overrightarrow{AC}}$

Puisque le vecteur $\overrightarrow{n}$ est orthogonal aux deux vecteurs non colinéraires $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ du plan ,nous en déduisons que le vecteur $\overrightarrow{n}$ est orthogonal au plan (ABC).

b. Nous savons que tout plan de vecteur normal $\overrightarrow{n}$ de coordonnées (a ; b ;c) une équation cartésienne de la forme $ax + by + cz + d = 0$.

Puisque le vecteur $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}2\\-1\\-1\end{pmatrix}$ est normal au plan $(ABC)$, nous déduisons qu'une équation cartésienne du plan (ABC) est de la forme $2x - y - z + d =0$

Or le point $A(-1 ; 2 ; 0)$ appartient au plan $(ABC)$.

Ses coordonnées vérifient l'équation du plan.

D'où$-2 -2 - 0 + d = 0$, soit $d=4$

Par conséquent, une équation cartésienne du plan (ABC) est : $2x - y - z + 4 = 0$

3. a. Un vecteur normal au plan d'équation $x - 2z + 6 = 0$ est $\overrightarrow{n_3}\begin{pmatrix}1\\0\\-2\end{pmatrix}$.

Puisque ce plan est parallèle au plan $\mathscr{P}_2$, le vecteur $\overrightarrow{n_3}$ est également normal à $\mathscr{P}_2$.

Nous déduisons qu'une équation cartésienne du plan $\mathscr{P}_2$ est de la forme $x - 0y - 2z =0$, soit $x - 2z + d = 0$

Or le point $O(0 ; 0 ; 0)$ appartient au plan $\mathscr{P}_2$.

Ses coordonnées vérifient l'équation plan.

D'où $0 - 0 + d = 0$, soit $d=0$

Par conséquent, une équation cartésienne du plan $\mathscr{P}_2$ est : $x - 2z = 0$, soit $x = 2z$

b. Une équation cartésienne de $\mathscr{P}_1$ est $3x + y - 2z + 3 = 0$. D'où un vecteur normal au plan $\mathscr{P}_1$ est $\overrightarrow{n_1}\begin{pmatrix}3\\1\\-2\end{pmatrix}$.

Une équation cartésienne de $\mathscr{P}_2$ est $x - 2z = 0$.

D'où un vecteur normal au plan $\mathscr{P}_2$ est $\overrightarrow{n_2}\begin{pmatrix}1\\0\\-2\end{pmatrix}$.

Ces deux vecteurs normaux ne sont pas colinéaires car $\dfrac{1}{3}\neq\dfrac{-2}{-2}$.

Par conséquent, les plans $\mathscr{P}_1$ et $\mathscr{P}_2$ sont sécants.

c. Un point M quelconque de la droite $\mathscr{D}$ admet comme coordonnées $(x ; y ; z) = (2- 3 ; t)$ avec $t$ appartient $\mathbb R$.

Ce point M appartient au plan $\mathscr{P}_1$ si ses coordonnées vérifient l'équation $3x + y - 2z+3 = 0$ du plan.

Or $3\times2t+(-4t-3)-2t+3=6t-4t-3-2t+3=0$

Puisque les coordonnées d'un point M quelconque de la droite $\mathscr{D}$ vérifient l'équation du plan $\mathscr{P}_1$, nous en déduisons que la droite $\mathscr{D}$ est incluse dans le plan$\mathscr{P}_1$

De même, ce point $M$ appartient au plan $\mathscr{P}_2$ si ses coordonnées vérifient l'équation $x-2z = 0$ du plan.

Or $2t-2t=0$

Puisque les coordonnées d'un point M quelconque de la droite $\mathscr{D}$ vérifient l'équation du plan $\mathscr{P}_2$, nous en déduisons que la droite $\mathscr{D}$ est incluse dans le plan$\mathscr{P}_2$.

Par conséquent, la droite $\mathscr{D}$ étant incluse dans les deux plans $\mathscr{P}_1$ et $\mathscr{P}_2$, cette droite $\mathscr{D}$ est l'intersection des deux plans $\mathscr{P}_1$ et $\mathscr{P}_2$.

Les coordonnées du point $I$ sont les solutions du système composé par les équations de la droite $\mathscr{D}$ et du plan (ABC), soit du système : $\left\lbrace\begin{matrix} x&=&2t\\y&=&-4t-3\\z&=&t\\2x-y-z+4&=0 \end{matrix}\right.$

$\left\lbrace\begin{matrix} x & = & 2t\\y & = &-4t-3\\z & = & t\\2\times2t-(-4t-3)-t+4 & = & 0 \end{matrix}\right.$

$\left\lbrace\begin{matrix} x&=&2t\\y&=&-4t-3\\z&=&t\\4t+4t+3-t+4&=&0 \end{matrix}\right.$

$\left\lbrace\begin{matrix} x&=&2t\\y&=&-4t-3\\z&=&t\\7t+7&=&0 \end{matrix}\right.$

$\left\lbrace\begin{matrix} x&=&2t\\y&=&-4t-3\\z&=&t\\t&=&-1 \end{matrix}\right.$

$\left\lbrace\begin{matrix} x&=&2\times(-1)\\y&=&-4\times(-1)-3\\z&=&-1\\t&=&-1 \end{matrix}\right.$

$\left\lbrace\begin{matrix} x&=&-2\\y&=&1\\z&=&-1\\t&=&-1 \end{matrix}\right.$

D'où les coordonnées du point I sont $\boxed{I(-2 ;1 ;-1)}.$