Les moules à gâteaux : des troncs de cônes

« Axel a préparé $1$ litre de pâte à gâteaux ; il veut remplir chaque cavité du moule au $1/3$ de son volume et toutes les cavités sont identiques. A-t-il suffisamment de pâte pour $9$ cavités ? »

On lit sur le schéma :

• diamètre en haut : $7{,}5~cm$, donc rayon $R=3{,}75~cm$

• hauteur du cône “complet” (jusqu’à la pointe) : $12~cm$

• profondeur de la cavité (la partie à remplir) : $4~cm$

👉 Petit conseil : $1~L = 1000~cm^3$ (très important pour comparer volumes et litres).

1) Comprendre la forme de la cavité

La cavité correspond à un tronc de cône : c’est un cône “coupé” par un plan.

Il faut donc connaître :

• la hauteur du tronc de cône : $h=4~cm$

• le grand rayon : $R=3{,}75~cm$

• le petit rayon : $r$ (au fond de la cavité)

2) Calculer le petit rayon $r$ grâce à Thalès (triangles semblables ou encore homothétiques)

Le cône complet a une hauteur $12~cm$.

Le fond de la cavité est à $4~cm$ sous le bord supérieur, donc sa distance à la pointe vaut :
$12-4=8$

Dans un cône, les rayons sont proportionnels aux distances à la pointe, donc :
$\dfrac{r}{R}=\dfrac{8}{12}$

Ainsi :
$r=R\times\dfrac{8}{12}=3{,}75\times\dfrac{2}{3}=2{,}5$

Donc :
$r=2{,}5~cm$

👉 Petit conseil : vérifie que $r<R$ : ici $2{,}5<3{,}75$, c’est cohérent.

3) Volume d’une cavité (tronc de cône)

Formule du volume d’un tronc de cône :
$V=\dfrac{1}{3}\pi h\left(R^2+Rr+r^2\right)$

On remplace :
$V=\dfrac{1}{3}\pi \times 4 \left(3{,}75^2+3{,}75\times 2{,}5+2{,}5^2\right)$

Calculs :
$3{,}75^2=14{,}0625$
$3{,}75\times 2{,}5=9{,}375$
$2{,}5^2=6{,}25$

Donc :
$R^2+Rr+r^2=14{,}0625+9{,}375+6{,}25=29{,}6875$

Alors :
$V=\dfrac{1}{3}\pi \times 4 \times 29{,}6875$
$V=39{,}5833\ldots\pi$
$V\approx 39{,}5833\times 3{,}1416\approx 124{,}3$

Donc le volume d’une cavité vaut environ :
$V\approx 124{,}3~cm^3$

👉 Petit conseil : garde $\pi$ jusqu’à la fin, et n’arrondis qu’au dernier moment.

4) Volume de pâte utilisé pour 9 cavités remplies au $1/3$

Chaque cavité est remplie au $1/3$ :
$V_{\text{pâte par cavité}}=\dfrac{V}{3}$

Pour $9$ cavités :
$V_{\text{total}}=9\times\dfrac{V}{3}=3V$

Donc :
$V_{\text{total}}\approx 3\times 124{,}3\approx 372{,}9~cm^3$

5) Comparaison avec $1$ litre de pâte

Axel a :
$1~L=1000~cm^3$

Or :
$372{,}9<1000$

Conclusion : oui, il a suffisamment de pâte pour remplir $9$ cavités au $1/3$.

👉 Petit conseil : ici, comme on ne remplit qu’au $1/3$, la quantité nécessaire baisse très vite : c’est normal que ça passe largement sous $1~L$.