Je comprends le calcul littéral (2)

Exercice 1

On veut vérifier que deux programmes de calcul donnent le même résultat.

Programme A : « Multiplie le nombre choisi par 2, puis ajoute 12 »
Programme B : « Ajoute 6 au nombre choisi, puis multiplie le résultat par 2 »

1. Choisis un nombre $n$ et calcule pour $n=4$.

2. Écris les deux expressions littérales correspondant aux programmes A et B.

3. Montre qu’elles sont égales pour n’importe quel $n$.

Correction

1. Pour $n=4$ :
   Programme A : $2\times4+12=8+12=20$
   Programme B : $(4+6)\times2=10\times2=20$
   Les deux programmes donnent bien le même résultat.

👉 Conseil : commence toujours par écrire les calculs dans l’ordre indiqué par le programme avant de comparer.

2. On cherche maintenant les expressions littérales générales :
   Programme A : $2n+12$
   Programme B : $2(n+6)$

3. Pour montrer qu’elles sont égales pour tout $n$ :
   $2(n+6)=2\times n+2\times6=2n+12$
   Les deux expressions sont donc égales.

👉 Conseil : utilise la distributivité pour ouvrir les parenthèses et vérifier l’égalité.

Exercice 2

Écris sous forme d’expression littérale les phrases suivantes :

1. Le double d’un nombre augmenté de 5.

2. Le triple d’un nombre diminué de 4.

3. La moitié d’un nombre augmenté de 6.

4. Le carré d’un nombre auquel on ajoute 3.

Correction

1. « Le double d’un nombre augmenté de 5 » signifie : multiplier par 2 la somme $(x+5)$.
   $\Rightarrow 2(x+5)$

👉 Conseil : quand tu lis “augmenté de”, pense “+” à l’intérieur des parenthèses.

2. « Le triple d’un nombre diminué de 4 » signifie : multiplier par 3 la différence $(x-4)$.
   $\Rightarrow 3(x-4)$

👉 Conseil : “diminué de” correspond à “−”.

3. « La moitié d’un nombre augmenté de 6 » signifie : diviser la somme $(x+6)$ par 2.
   $\Rightarrow \dfrac{x+6}{2}$

👉 Conseil : “la moitié de” se traduit toujours par division par 2.

4. « Le carré d’un nombre auquel on ajoute 3 » signifie : prendre $x^2$, puis ajouter 3.
   $\Rightarrow x^2 + 3$

👉 Conseil : le mot “carré” veut dire multiplié par lui-même, donc $x\times x$.

Exercice 3

Vérifie les égalités suivantes à l’aide de la distributivité :

1. $4(a+3)=4a+12$

2. $5(x-2)=5x-10$

3. $3(2t+1)=6t+3$

4. $7(10-y)=70-7y$

Correction

1. On applique la distributivité :
   $4(a+3)=4\times a + 4\times3 = 4a + 12$ ✔️

👉 Conseil : multiplie chaque terme de la parenthèse par le nombre placé devant.

2. $5(x-2)=5\times x - 5\times2 = 5x - 10$ ✔️

👉 Conseil : attention au signe “−”, il doit être gardé pendant la distribution.

3. $3(2t+1)=3\times2t + 3\times1 = 6t + 3$ ✔️

👉 Conseil : pense à multiplier le nombre et la lettre ensemble : $3\times2t=6t$.

4. $7(10-y)=7\times10 - 7\times y = 70 - 7y$ ✔️

👉 Conseil : quand il y a une soustraction, le signe “−” se distribue aussi !