Je comprends le calcul littéral

I. Une lettre pour généraliser

Remarque : le mot "littéral" a la même racine que le mot "lettre"

Définition :

Une expression littérale est une expression qui comporte une ou plusieurs lettres.
Les expressions littérales peuvent servir à produire une formule pour généraliser un calcul.

Exemple : Observe la suite de motifs composés de points bleus ci-dessous, puis donner le nombre de points bleus en fonction du numéro de l'étape.

Réponse :
Compter à chaque étape le nombre de points bleus est trop long.
On remarque qu'à chaque étape, on rajoute deux points bleus par rapport à l'étape précédente.

À l'étape 0, le nombre de point bleu est 1

À l'étape 1, le nombre de point bleu est 3 soit le point d'origine, auquel on ajoute $2\times 1$ points

À l'étape 2, le nombre de point bleu est 5 soit le point d'origine, auquel on ajoute $2\times 2$ points

À l'étape 3, le nombre de point bleu est 7 soit le point d'origine, auquel on ajoute $2\times 3$ points

$\dots$

À l'étape $n$, je vois que le nombre de point bleu est :$1+2\times \text{le nombre d'étapes}$

À l'étape $n$, le nombre de point bleu est $1+2\times n$ soit le point d'origine, auquel on ajoute $2\times n$ points

Si on appelle $n$ le numéro de l'étape, alors le nombre de points bleus est donné par l'expression littérale $1+2 \times n$ .

Si on veut calculer le nombre de points bleus à l'étape 17 par exemple, il suffit de remplacer la lettre $n$ directement par 17 dans l'expression littérale et je trouve :

$1+2 \times 17=35$ . Il y a 35 points bleus dans le motif à l'étape 17.

II. Une lettre pour prouver

La distributivité (simple)

Pour n'importe quels nombres $k, a$ et $b$, l'égalité ci-dessous est vraie :

$k\times(a+b)=k\times a+k \times b$

Cette propriété peut servir à prouver que deux expressions littérales sont égales pour n'importe quelles valeurs données aux lettres.

Exemple : On donne les deux programmes de calcul ci-dessous.

Matt affirme : "Si je choisis le même nombre de départ pour les programmes A et B, alors j'obtiens le même résultat final. Ceci est vrai pour n'importe quel nombre de départ que je choisis."
Matt a-t-il raison ? Justifier.

Réponse :

Pour déterminer si Matt a raison, il est impossible de tester les programmes de calcul avec tous les nombres qui existent ! On va donc utiliser des expressions littérales.

J'appelle $n$ le nombre choisi au début du programme.

Ces deux expressions littérales sont égales pour n'importe quel nombre $n$ d'après la propriété de distributivité. En effet :

$2 \times (n+6) = 2 \times n + 2 \times 6 = 2 \times n + 12$

Remarque : on n'écrit pas toujours le signe $\times$