Exercice 1

Une pyramide possède une base carrée de côté $c = 6~\text{cm}$ et une hauteur $h = 10~\text{cm}$ . Calculez l'aire de sa base $B$ , puis son volume $V$ .
Un cône de révolution a un rayon de base $r = 3~\text{cm}$ et une hauteur $h = 7~\text{cm}$ . Calculez son volume $V$ en utilisant la valeur $\pi \approx 3{,}14$ .
Combien de faces latérales possède une pyramide dont la base est un hexagone (polygone à $6$ côtés) ? Justifiez à l'aide des sources.

Exercice 2

Définis ce qu'est un parallèle et un méridien.
Dans quel ordre doit-on donner les coordonnées géographiques d'un point sur Terre ?
Donne les coordonnées géographiques de la ville de Rio de Janeiro.

picture-in-text On considère un pavé droit $ABCDEFGH$ , avec l'origine en $A(0;0;0)$ .

Si l'unité est le centimètre, et que l'on a $AB = 5~\text{cm}$ (sur l'axe des ordonnées), $AD = 3~\text{cm}$ (sur l'axe des abscisses) et $AE = 4~\text{cm}$ (sur l'axe des altitudes), déterminez les coordonnées des points $B$ , $D$ et $E$ .
Quelles sont les coordonnées du sommet $G$ , qui est le point opposé à l'origine $A$ ?
Un point $M$ situé aux coordonnées $(1{,}5~;~0~;2)$ appartient-il à une face du pavé ? Si oui, laquelle ?

Aire de la base et volume de la pyramide :
La base est un carré de côté $c = 6~\text{cm}$ .
Son aire $B$ se calcule par la formule $B = c \times c$ , soit $B = 6 \times 6 = 36~\text{cm}^2$ .
Le volume $V$ d'une pyramide est donné par la formule $V = \dfrac{h \times B}{3}$ .
En remplaçant par les valeurs, nous obtenons $V = \dfrac{10 \times 36}{3} = \dfrac{360}{3} = 120~\text{cm}^3$ .
Volume du cône de révolution :
L'aire de la base $B$ d'un cône (qui est un disque) se calcule avec la formule $B = \pi \times r^2$ .
Avec $r = 3~\text{cm}$ et $\pi \approx 3{,}14$ , on a $B = 3{,}14 \times 3^2 = 3{,}14 \times 9 = 28{,}26~\text{cm}^2$ .
Le volume $V$ du cône utilise la même formule que la pyramide : $V = \dfrac{h \times B}{3}$ .
Ainsi, $V = \dfrac{7 \times 28{,}26}{3} = \dfrac{197{,}82}{3} = 65{,}94~\text{cm}^3$ .
Faces latérales :
Il y a autant de faces latérales que de côtés au polygone de base.
Comme la base est un hexagone (un polygone à $6$ côtés), la pyramide possède donc $6$ faces latérales.

Définitions :
Les parallèles sont des cercles imaginaires tracés parallèlement à l'équateur et numérotés de $0^\circ$ à $90^\circ$ vers le nord ou le sud.
Les méridiens sont des demi-cercles joignant les deux pôles, numérotés de $0^\circ$ à $180^\circ$ vers l'est ou vers l'ouest.
Ordre des coordonnées géographiques :
Pour situer un point, on doit donner d'abord sa latitude (nord ou sud), puis sa longitude (est ou ouest).
Coordonnées de Rio de Janeiro :

Les coordonnées de Rio de Janeiro sont : $20^\circ~\text{S},~40^\circ~\text{O}$ .

picture-in-text

Si l'unité est le centimètre, et que l'on a $AB = 5~\text{cm}$ (sur l'axe des ordonnées), $AD = 3~\text{cm}$ (sur l'axe des abscisses) et $AE = 4~\text{cm}$ (sur l'axe des altitudes), déterminez les coordonnées des points $B$ , $D$ et $E$ .
Coordonnées des points B, D et E :
Dans un pavé droit, les coordonnées sont lues dans l'ordre (abscisse;ordonnée;altitude).
Le point $D$ est sur l'axe des ordonnées $[AD)$ , donc ses coordonnées sont $D(0;3;0)$ .
Le point $B$ est sur l'axe des abscisses $[AB)$ , donc ses coordonnées sont $B(5;0;0)$ .
Le point $E$ est sur l'axe des altitudes $[AE)$ , donc ses coordonnées sont $E(0;0;4)$ .
Coordonnées du sommet G :
Le point $G$ correspond au déplacement maximal sur les trois axes à partir de l'origine $A$ .
Ses coordonnées sont donc $G(5;3;4)$ .
Position du point $M(1{,}5~;~0~;~2)$ :
Le point $M$ a une ordonnée nulle ( $y = 0$ ), ce qui signifie qu'il n'y a pas de déplacement sur l'axe $[AD)$ .
Un point dont l'une des coordonnées est nulle appartient à une face du pavé (un plan spécifique).
Comme son ordonnée est nulle, le point $M$ appartient à la face avant, c'est-à-dire la face $ABFE$ .