Se repérer dans l'espace

Tu as appris à te repérer dans un plan grâce à un repère orthogonal. Pour cela, on a eu besoin de deux droites perpendiculaires graduées, et sécantes en un point nommé origine.

On lit que l'abscisse de $A$ vaut 5 et que son ordonnée vaut 2. On dit que les coordonnées de $A$ sont 5 et 2 et on écrit $A (5 ; 2)$. De même, $D(-3;-1)$. On donne toujours d'abord l'abscisse du point (qu'on lit sur l'axe "horizontal" du dessin puis son ordonnée, qu'on lit sur l'axe "vertical" du dessin.

Cette année, tu vas apprendre à te repérer dans l'espace grâce à un parallélépipède rectangle, encore appelé pavé droit.
En 6^e, tu as appris à représenter sur ta feuille des pavés droits.

I. Utiliser un pavé droit pour se repérer dans l'espace

À retenir
Pour se repérer dans un parallélépipède rectangle, on choisit un sommet pour origine puis on choisit de lire abscisse et ordonnée sur la base du pavé droit. On choisit alors l'altitude (encore appelée côte) sur un côté perpendiculaire aux deux premiers (voir dessin).

Il est alors nécessaire d'avoir des graduations (ou unités) sur les droites (AB), (AD) et (AE) afin de pouvoir repérer n'importe quel point de l'espace.

II. Exemple

Les coordonnées d'un point sont toujours données dans l'ordre (abscisse; ordonnée ; altitude).

Ici, l'origine choisie est le point $A$ qui a donc comme coordonnées $(0;0;0)$. On écrit $A(0;0;0)$, de même $B(4; 0; 0)$ ou $H(0;2;3)$.

Quelles sont les coordonnées des points $D, C, E, F, G$ ?

Réponse : $D(0;2;0)$ - $C(4;2;0)$ - $E(0;0;3)$ - $F(4;0;3)$ - $G(4;2;3)$

III. Exercice

On a tracé un pavé droit $ABCDEFGH$ dans le repère d'origine $A$, d'axe des abscisses $[AD)$, d'axe des ordonnées $[AB)$ et d'axe des altitudes [$AE)$.

$1.$ Détermine les coordonnées de tous les sommets du pavé.

$2.$ Quelles sont les coordonnées du milieu $J$ de $[EF]$ ?

$3.$ Place le point $P$ de coordonnées $(0;5;4)$. À quel plan appartient le point $P$ ? Justifie.

$4.$ Place le point $M$ de coordonnées $(2;6;3)$. Le point M appartient-il à une face du pavé ? Justifie.

Solution :

$1.$ $A(0,0,0)$ ; B(0,$10,0)$ ; $C(4,10,0)$ ; $D(4,0,0)$ ; $E(0,0,5)$ ; $F(0,10,5)$ ; $G(4,10,5)$ ; $H(4,0,5)$
On remarque que les points $E$, $F$, $G$ et $H$ ont une altitude (ou côte) égale à $5$ : ils appartiennent tous à la face supérieure du pavé, le plan $(EFG)$.

$2.$ On place le point $J$, milieu du segment $[EF]$, et on lit $J(0,5,5)$.

$3.$ Placer le point $P(0,5,4)$

$\checkmark$$0$ en abscisse : pas de déplacement sur l'axe des abscisses

$\checkmark$On avance de $+5$ unités sur l'axe des ordonnées

$\checkmark$On monte de $+4$ unités sur l'axe des altitudes

$P$ appartient au plan $(ABF)$, comme tous les points du pavé dont l'abscisse est nulle.

$4.$ Le point $M$ de coordonnées $(2;6;3)$ n'appartient à aucune face du pavé car aucune de ses coordonnées n'est nulle.