Intégration par parties

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Théorème : Intégration par parties Soient a et ba \text{ et } b deux réels tels que a<ba\lt b et uu et vv deux fonctions définies et dérivables sur [a,b][a,b] respectivement de dérivées uu' et vv' continues sur [a,b][a,b].

Alors : abu(x)v(x) dx=[u(x)v(x)]ababu(x)v(x) dx \boxed{\displaystyle \int_a^b u(x)v^{'}(x)\text{ d}x = \left[u(x)v(x)\right]_a^b-\int_a^b u^{'}(x)v(x)\text{ d}x}

Remarques :

1.1. Il est parfois utile de remarquer que abf(x)dx=ab1×f(x)dx\displaystyle\int_a^bf(x)\text dx=\displaystyle\int_a^b1\times f(x)\text dxpour effectuer une intégration par parties en utilisant v(x)=1v'(x)=1.

2.2. La propriété reste vraie si a=ba=b .

3.3. Le choix des fonctions uu et vv' est important pour permettre de continuer les calculs. Il ne faut pas oublier que certaines fonctions sont plus faciles à intégrer que d’autres (exponentielles, fonctions polynômes).

Exemple 1 :

Calculer ee2lnx dx \displaystyle \int_{\text{e}}^{\text{e}^2} \ln x \text{ d}x

On pose : {u(x)=lnxv(x)=1 donc : {u(x)=1xv(x)=x \left\lbrace\begin{matrix} u(x)=\ln x \\ v{'}(x)=1 \end{matrix} \right.\text{ donc : }\left\lbrace\begin{matrix} u{'}(x)=\dfrac{1}{x} \\ v(x)=x \end{matrix}\right. u,v,u,vu,v,u',v' sont toutes quatre continues sur [e,e2][\text{e}, \text{e}^2].

ee2lnx dx=[xlnx]ee2ee21x×x dx\displaystyle \int_{\text{e}}^{\text{e}^2} \ln x \text{ d}x =\left[x \ln x\right]_{\text{e}}^{\text{e}^2} -\displaystyle \int_{\text{e}}^{\text{e}^2} \dfrac{1}{x} \times x\text{ d}x

ee2lnx dx=e2lne2elne[x]ee2{\phantom{\displaystyle \int_{\text{e}}^{\text{e}^2} \ln x \text{ d}x}=\text{e}^2\ln \text{e}^2-\text{e}\ln \text{e}-\left[x\right]_{\text{e}}^{\text{e}^2}}

ee2lnx dx=2e2ee2+e{\phantom{\displaystyle \int_{\text{e}}^{\text{e}^2} \ln x \text{ d}x}=2\text{e}^2-e -\text{e}^2+\text{e}}

ee2lnx dx=e2{\phantom{\displaystyle \int_{\text{e}}^{\text{e}^2} \ln x \text{ d}x}=\text{e}^2}

Exemple 2 :

Calculer 0πxsinx dx \displaystyle \int_{0}^{\pi} x\sin x \text{ d}x

On pose : {u(x)=xv(x)=sinx donc : {u(x)=1v(x)=cosx \left\lbrace\begin{matrix} u(x)=x \\ v{'}(x)=\sin x \end{matrix}\right. \text{ donc : }\left\lbrace\begin{matrix} u{'}(x)=1 \\ v(x)=-\cos x \end{matrix}\right.u,v,u,vu,v,u',v' sont toutes quatre continues sur [0;π][0; \pi].

0πxsinx dx=[xcosx]0π0πcosx dx\displaystyle \int_{0}^{\pi} x\sin x \text{ d}x =\left[-x\cos x\right]_0^{\pi} - \displaystyle\int_{0}^{\pi} -\cos x \text{ d}x

0πxsinx dx=π+0πcosx dx{\phantom{\displaystyle \int_{0}^{\pi} x\sin x \text{ d}x} =\pi +\displaystyle \int_{0}^{\pi} \cos x \text{ d}x}

0πxsinx dx=π+[sinx]0π{\phantom{\displaystyle \int_{0}^{\pi} x\sin x \text{ d}x} = \pi + \left[\sin x\right]_0^{\pi}}

0πxsinx dx=π+sinπsin0{\phantom{\displaystyle \int_{0}^{\pi} x\sin x \text{ d}x} = \pi + \sin \pi - \sin 0}

0πxsinx dx=π{\phantom{\displaystyle \int_{0}^{\pi} x\sin x \text{ d}x} =\pi}


Merci à Panter et à Malou pour avoir participé à l'élaboration de cette fiche