Théorème : Intégration par parties Soient a et b deux réels tels que a<b et u et v deux fonctions définies et dérivables sur [a,b] respectivement de dérivées u′ et v′ continues sur [a,b].
Alors : ∫abu(x)v′(x) dx=[u(x)v(x)]ab−∫abu′(x)v(x) dx
Remarques :
1. Il est parfois utile de remarquer que ∫abf(x)dx=∫ab1×f(x)dxpour effectuer une intégration par parties en utilisant v′(x)=1.
2. La propriété reste vraie si a=b .
3. Le choix des fonctions u et v′ est important pour permettre de continuer les calculs. Il ne faut pas oublier que certaines fonctions sont plus faciles à intégrer que d’autres (exponentielles, fonctions polynômes).
Exemple 1 :
Calculer ∫ee2lnx dx
On pose : {u(x)=lnxv′(x)=1 donc : {u′(x)=x1v(x)=x u,v,u′,v′ sont toutes quatre continues sur [e,e2].
∫ee2lnx dx=[xlnx]ee2−∫ee2x1×x dx
∫ee2lnx dx=e2lne2−elne−[x]ee2
∫ee2lnx dx=2e2−e−e2+e
∫ee2lnx dx=e2
Exemple 2 :
Calculer ∫0πxsinx dx
On pose : {u(x)=xv′(x)=sinx donc : {u′(x)=1v(x)=−cosxu,v,u′,v′ sont toutes quatre continues sur [0;π].
∫0πxsinx dx=[−xcosx]0π−∫0π−cosx dx
∫0πxsinx dx=π+∫0πcosx dx
∫0πxsinx dx=π+[sinx]0π
∫0πxsinx dx=π+sinπ−sin0
∫0πxsinx dx=π
Merci à Panter et à Malou pour avoir participé à l'élaboration de cette fiche