Étude complète d’une fonction logarithmique et calcul d’aire sous la courbe

Énoncé

Le plan est rapporté à un repère orthonormal $(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ d'unité $2~\text{cm}$ sur chaque axe.
La courbe $(C)$ donnée en annexe $2$ représente une fonction $f$ définie sur $]0; +\infty[$ .
Le point $A$ a pour coordonnées $(1; 2)$ .
La droite $(T)$ est tangente en $A$ à $(C)$ ; elle passe par le point de coordonnées $(0; 6)$ .
Le point $B$ a pour abscisse $e^2$ .
La tangente à $(C)$ en $B$ est parallèle à $(Ox)$ , cette tangente n'est pas tracée sur le dessin.

Partie A : Étude de la fonction $f$
La fonction $f$ représentée par $(C)$ est définie sur $]0 ; +\infty[$ par : $f(x) = \dfrac{2 - 2\ln x}{x}$ .

Calculer l'abscisse du point d'intersection de $(C)$ avec $(Ox)$ .
a) En remarquant que $f(x) = 2 \times \dfrac{1}{x} - 2 \times \dfrac{\ln x}{x}$ , calculer la limite de $f$ en $+\infty$ .
Que peut-on en déduire pour la courbe $(C)$ ?
b) En remarquant que $f(x) = \dfrac{1}{x}(2 - 2\ln x)$ , calculer la limite de $f$ en $0$ .
Que peut-on en déduire pour la courbe $(C)$ ?
a) Montrer que $f'(x) = \dfrac{2\ln x - 4}{x^2}$ .
b) Résoudre : $2 \ln x - 4 \geq 0$ .
En déduire le signe de $f'(x)$ sur $]0; +\infty[$ et le tableau de variation de $f$ .
c) Donner l'ordonnée exacte du point $B$ (détailler les calculs).

Partie B : Calcul d'aire

On considère les fonctions $G$ et $g$ définies respectivement sur $]0; +\infty[$ par $G(x) = (\ln x)^2 \text{ et } g(x) = \dfrac{2 \ln x}{x}$ .
a) Montrer que $G$ est une primitive de $g$ sur $]0 ; +\infty[$ .
b) Vérifier que $f(x) = \dfrac{2}{x} - g(x)$ ; en déduire une primitive $F$ de $f$ sur $]0; +\infty[$ .
On pose : $\mathcal{A} = \displaystyle\int_1^e f(x) dx$ .
a) $\mathcal{A}$ est l'aire, en unités d'aire, d'un domaine $(\mathcal{D})$ : hachurer $(\mathcal{D})$ sur le graphique.
b) Calculer la valeur exacte de $\mathcal{A}$ .
c) En déduire l'aire en $\text{cm}^2$ du domaine $(\mathcal{D})$ .

Partie A : Etude de la fonction $f$

Il s'agit de résoudre l'équation : $f(x)=0$
$f(x)=0\Longleftrightarrow \dfrac{2-2\ln x}{x}=0\Longleftrightarrow 2-2\ln x=0\Longleftrightarrow 2\ln x=2 \Longleftrightarrow \ln x=1\Longleftrightarrow \boxed{x=e}$
a) En sachant que $\displaystyle \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x}=0 \text{ et } \lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{\ln x}{x}=0$
On a : $\displaystyle\lim\limits_{x\to+\infty} f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}2 \times \dfrac{1}{x} - 2 \times \dfrac{\ln x}{x}=2\times 0-2\times 0=\boxed{0}$
Interprétation géométrique :
La droite d'équation $y=0$ est asymptote à la courbe $(C)$ en $+\infty$
b) On sait que pour $x>0 \text{ : } \displaystyle \lim\limits_{x\to 0} \dfrac{1}{x}=+\infty \text{ et } \lim\limits_{x\to 0} \ln x=-\infty$
Donc : $\displaystyle \lim\limits_{x\to 0}f(x)=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1}{x}(2 - 2\ln x)=+\infty \times (2-2\times(-\infty))=+\infty\times +\infty=\boxed{+\infty}$
Interprétation géométrique:
La droite d'équation $x=0$ est asymptote à la courbe $(C)$ .
a) Pour tout $x$ strictement positif :
$f'(x) = \left(\dfrac{2 - 2\ln x}{x}\right)'=\dfrac{(2-2\ln x)'\times x -(2-2\ln x)\times x'}{x^2}=\dfrac{-\dfrac{2}{x}\times x -(2-2\ln x)}{x^2}=\dfrac{-2-2+2\ln x}{x^2}=\boxed{\dfrac{2\ln x-4}{x^2}}$

3.b) Directement : $2\ln x-4\geq 0\Longleftrightarrow \ln x\geq\dfrac{4}{2}\Longleftrightarrow \boxed{x\geq e^2}$
Donc :
$\boxed{S=[e^2,+\infty[}$

Signe de $f'(x)$ :
$x^2$ étant toujours positif, le signe de $f'(x)$ est celui de $2\ln x-4$
On déduit alors d'après ce qui précède :
$\boxed{f'(x) \text{ est positif sur } [e^2,+\infty[ \text{ et négatif sur } ]0,e^2]}$

Table de variations :
$\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x & 0 & & e^2 & & +\infty \\ \hline f'(x) & & - & 0 & + & \\ \hline f(x) & ^{+\infty} & \searrow & _{f(e^2)} & \nearrow & ^0 \\ \hline \end{array}$

c) Il s'agit de calculer l'image de $e^2$ .
Calcul direct : $f(e^2)=\dfrac{2-2\ln e^2}{e^2}=\dfrac{2-4\ln e}{e^2}=\dfrac{-2}{e^2}=\boxed{-2e^{-2}}$

Partie B : Calcul d'aire

a) Pour tout $x$ de $]0, +\infty[$ : $G'(x)=\left((\ln x)^2\right)'=2(\ln x)'(\ln x)=2\dfrac{1}{x}\ln x=\dfrac{2\ln x}{x}=\boxed{g(x)}$
On en déduit que :
$\boxed{\text{G est une primitive de g sur } ]0 ,+\infty[}$
b) Pour tout $x$ strictement positif : $\dfrac{2}{x}-g(x)=\dfrac{2}{x}-\dfrac{2\ln x}{x}=\dfrac{2-2\ln x}{x}=\boxed{f(x)}$
Déduction d'une primitive $F$ de la fonction $f$ sur $]0,+\infty[$ :
On sait que $x\mapsto 2\ln x$ est une primitive de $x\mapsto \dfrac{2}{x}$ sur $]0,+\infty[$ , donc une primitive de $f$ peut être définie par :
$\text{Pour tout }x\text{ de }]0;+\infty[~,~F(x)=2\ln x-G(x)=2\ln x - (\ln x)^2=\boxed{\ln x(2-\ln x)}$
a)

picture-in-text b) Calcul d'intégrale : $\mathcal{A}=\displaystyle\int_1^e f(x)dx=\left[F(x)\right]_1^e=F(e)-F(1)=\ln e(2-\ln e)-\ln 1 (2-\ln 1)= 1-0=\boxed{1}$

c) Puisque l'unité graphique est de $2~\text{cm}$ sur chaque axe, on a : $1~\text{u.a}=4~\text{cm}^2$ .
De plus sur $[1 ; e]$ , la courbe est toujours au dessus de l'axe des abscisses (voir variations et point d'intersection avec l'axe des abscisses),
donc $\mathcal{A} = 1~\text{u.a}= \boxed{4~\text{cm}^2}$

Énoncé

Partie A : Étude de la fonction $f$
La fonction $f$ représentée par $(C)$ est définie sur $]0 ; +\infty[$ par : $f(x) = \dfrac{2 - 2\ln x}{x}$ .

Calculer l'abscisse du point d'intersection de $(C)$ avec $(Ox)$ .
a) En remarquant que $f(x) = 2 \times \dfrac{1}{x} - 2 \times \dfrac{\ln x}{x}$ , calculer la limite de $f$ en $+\infty$ .
Que peut-on en déduire pour la courbe $(C)$ ?
b) En remarquant que $f(x) = \dfrac{1}{x}(2 - 2\ln x)$ , calculer la limite de $f$ en $0$ .
Que peut-on en déduire pour la courbe $(C)$ ?
a) Montrer que $f'(x) = \dfrac{2\ln x - 4}{x^2}$ .
b) Résoudre : $2 \ln x - 4 \geq 0$ .
En déduire le signe de $f'(x)$ sur $]0; +\infty[$ et le tableau de variation de $f$ .
c) Donner l'ordonnée exacte du point $B$ (détailler les calculs).

Partie B : Calcul d'aire

On considère les fonctions $G$ et $g$ définies respectivement sur $]0; +\infty[$ par $G(x) = (\ln x)^2 \text{ et } g(x) = \dfrac{2 \ln x}{x}$ .
a) Montrer que $G$ est une primitive de $g$ sur $]0 ; +\infty[$ .
b) Vérifier que $f(x) = \dfrac{2}{x} - g(x)$ ; en déduire une primitive $F$ de $f$ sur $]0; +\infty[$ .
On pose : $\mathcal{A} = \displaystyle\int_1^e f(x) dx$ .
a) $\mathcal{A}$ est l'aire, en unités d'aire, d'un domaine $(\mathcal{D})$ : hachurer $(\mathcal{D})$ sur le graphique.
b) Calculer la valeur exacte de $\mathcal{A}$ .
c) En déduire l'aire en $\text{cm}^2$ du domaine $(\mathcal{D})$ .

Partie A : Etude de la fonction $f$

Il s'agit de résoudre l'équation : $f(x)=0$
$f(x)=0\Longleftrightarrow \dfrac{2-2\ln x}{x}=0\Longleftrightarrow 2-2\ln x=0\Longleftrightarrow 2\ln x=2 \Longleftrightarrow \ln x=1\Longleftrightarrow \boxed{x=e}$
a) En sachant que $\displaystyle \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x}=0 \text{ et } \lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{\ln x}{x}=0$
On a : $\displaystyle\lim\limits_{x\to+\infty} f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}2 \times \dfrac{1}{x} - 2 \times \dfrac{\ln x}{x}=2\times 0-2\times 0=\boxed{0}$
Interprétation géométrique :
La droite d'équation $y=0$ est asymptote à la courbe $(C)$ en $+\infty$
b) On sait que pour $x>0 \text{ : } \displaystyle \lim\limits_{x\to 0} \dfrac{1}{x}=+\infty \text{ et } \lim\limits_{x\to 0} \ln x=-\infty$
Donc : $\displaystyle \lim\limits_{x\to 0}f(x)=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1}{x}(2 - 2\ln x)=+\infty \times (2-2\times(-\infty))=+\infty\times +\infty=\boxed{+\infty}$
Interprétation géométrique:
La droite d'équation $x=0$ est asymptote à la courbe $(C)$ .
a) Pour tout $x$ strictement positif :
$f'(x) = \left(\dfrac{2 - 2\ln x}{x}\right)'=\dfrac{(2-2\ln x)'\times x -(2-2\ln x)\times x'}{x^2}=\dfrac{-\dfrac{2}{x}\times x -(2-2\ln x)}{x^2}=\dfrac{-2-2+2\ln x}{x^2}=\boxed{\dfrac{2\ln x-4}{x^2}}$

3.b) Directement : $2\ln x-4\geq 0\Longleftrightarrow \ln x\geq\dfrac{4}{2}\Longleftrightarrow \boxed{x\geq e^2}$
Donc :
$\boxed{S=[e^2,+\infty[}$

c) Il s'agit de calculer l'image de $e^2$ .
Calcul direct : $f(e^2)=\dfrac{2-2\ln e^2}{e^2}=\dfrac{2-4\ln e}{e^2}=\dfrac{-2}{e^2}=\boxed{-2e^{-2}}$

Partie B : Calcul d'aire

a) Pour tout $x$ de $]0, +\infty[$ : $G'(x)=\left((\ln x)^2\right)'=2(\ln x)'(\ln x)=2\dfrac{1}{x}\ln x=\dfrac{2\ln x}{x}=\boxed{g(x)}$
On en déduit que :
$\boxed{\text{G est une primitive de g sur } ]0 ,+\infty[}$
b) Pour tout $x$ strictement positif : $\dfrac{2}{x}-g(x)=\dfrac{2}{x}-\dfrac{2\ln x}{x}=\dfrac{2-2\ln x}{x}=\boxed{f(x)}$
Déduction d'une primitive $F$ de la fonction $f$ sur $]0,+\infty[$ :
On sait que $x\mapsto 2\ln x$ est une primitive de $x\mapsto \dfrac{2}{x}$ sur $]0,+\infty[$ , donc une primitive de $f$ peut être définie par :
$\text{Pour tout }x\text{ de }]0;+\infty[~,~F(x)=2\ln x-G(x)=2\ln x - (\ln x)^2=\boxed{\ln x(2-\ln x)}$
a)

picture-in-text b) Calcul d'intégrale : $\mathcal{A}=\displaystyle\int_1^e f(x)dx=\left[F(x)\right]_1^e=F(e)-F(1)=\ln e(2-\ln e)-\ln 1 (2-\ln 1)= 1-0=\boxed{1}$

c) Puisque l'unité graphique est de $2~\text{cm}$ sur chaque axe, on a : $1~\text{u.a}=4~\text{cm}^2$ .
De plus sur $[1 ; e]$ , la courbe est toujours au dessus de l'axe des abscisses (voir variations et point d'intersection avec l'axe des abscisses),
donc $\mathcal{A} = 1~\text{u.a}= \boxed{4~\text{cm}^2}$

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