Etude complète de fonction et calcul d'aire

Énoncé

Un club sportif confie l'élaboration d'un logo à une agence. Celle-ci choisit un " drapeau " pour motif.

Partie A
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-1;~1]$ par $f(x)=x^3-x+2$ .
Le plan est muni d'un repère orthonormal $(O;~\overrightarrow{i},~\overrightarrow{j})$ d'unité graphique 5 cm. On appelle $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans ce repère.

$f'$ désigne la fonction dérivée de $f$ : calculer $f'(x)$ .
Déterminer le signe de $f'(x)$ sur $[-1;~1]$ sachant que $f'(x)=3\left(x+\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)\left(x-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)$ et dresser le tableau de variation de $f$ sur cet intervalle.
On indiquera pour $f\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)$ et $f\left(-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)$ des valeurs approchées décimales arrondies au centième.
Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant :
(On donnera des valeurs approchées décimales arrondies au centième).

$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} x & -1 & -0,8 & -0,6 & -0,4 & -0,2 & 0 & 0,2 & 0,4 & 0,6 & 0,8 & 1 \\ \hline f(x) & & & 2,38 & & & & & 1,66 & & & \end{array}$

Tracer $\mathcal{C}_f$ sur la feuille de papier millimétré.
Calculer l'intégrale $I=\displaystyle\int_{-1}^{1} f(x)\,\text dx$ .

Partie B
On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[-1;~1]$ par $g(x)=(x-1)\text e^x+2$ .
On appelle $\mathcal{C}_g$ la courbe représentative de $g$ dans le plan muni du repère $(O;~\overrightarrow{i},~\overrightarrow{j})$ .

Montrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $[-1;~1]$ , $g'(x)=x\text e^x$ où $g'$ désigne la fonction dérivée de $g$ .
Etudier le signe de $g'(x)$ sur $[-1;~1]$ et dresser le tableau de variation de $g$ .
Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant :
(On donnera des valeurs approchées décimales arrondies au centième).

$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|} x & -1 & -0,8 & -0,4 & 0 & 0,4 & 0,6 & 0,8 & 1 \\ \hline g(x) & & 1,19 & & & & 1,27 & & \end{array}$

Tracer $\mathcal{C}_g$ dans le même repère $(O;~\overrightarrow{i},~\overrightarrow{j})$ que précédemment.
On considère la fonction $G$ définie sur l'intervalle $[-1;~1]$ par $G(x)=(x-2)\text e^x+2x$ .
a) Montrer que $G$ est une primitive de $g$ sur $[-1;~1]$ .
b) Calculer l'intégrale $J=\displaystyle\int_{-1}^{1} g(x)\,\text dx$ .

Partie C
La partie du plan $\mathcal{A}$ limitée par les courbes $\mathcal{C}_f$ , $\mathcal{C}_g$ et par la droite d'équation $x=-1$ représente la toile du drapeau.

Placer les points $P(-1;~2)$ et $Q(-1;~0)$ puis tracer le segment $[PQ]$ pour achever le motif.
On suppose que, pour tout $x$ de l'intervalle $[-1;~1]$ , $f(x)\geq g(x)$ et que l'aire de la partie $\mathcal{A}$ du plan est donnée, en unités d'aires, par $A=\displaystyle\int_{-1}^{+1} (f(x)-g(x)),dx$ .
a) Calculer la valeur exacte de $A$ .
b) En déduire une valeur approchée à $10^{-2}$ près de l'aire de $\mathcal{A}$ exprimée en $\text{cm}^2$ .

Partie A

$f$ est dérivable sur $[-1;~1]$ et pour tout $x$ de $[-1;~1]$ , on a :
$f'(x)=3x^2-1\ f'(x)=3\left(x^2-\dfrac{1}{3}\right)\ f'(x)=3\left(x-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)\left(x+\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)$
Comme $3>0$ , $f'(x)$ est du signe de $\left(x-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)\left(x+\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)$ .
Or, $x-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\geq 0 \text{ si et seulement si } x\geq\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
et $x+\dfrac{1}{\sqrt{3}}\geq 0 \text{ si et seulement si } x\geq-\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
D'où le tableau de signes suivant :

$\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline x&-1&&-\dfrac{1} {\sqrt{3}}&&\dfrac{1}{\sqrt{3}}&&1\\ \hline x-\dfrac{1}{\sqrt{3}}&&-&&-&0&+&\\ \hline x+\dfrac{1}{\sqrt{3}}&&-&0&+&&+&\\ \hline f'(x)&&+&0&-&0&+&\\ \hline \end{array}$

Donc :
$f'(x)\geq 0 \text{ si } x\in\left[-1;~-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right]\cup\left[\dfrac{1}{\sqrt{3}};~1\right]\ \text{ et : } f'(x)\leq 0 \text{ si } x\in\left[-\dfrac{1}{\sqrt{3}};~\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right]$ .
Donc $f$ est croissante sur $\left[-1;~-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right]$ et sur $\left[\dfrac{1}{\sqrt{3}};~1\right]$ et $f$ est décroissante sur $\left[-\dfrac{1}{\sqrt{3}};~\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right]$ .

Tableau de variations de la fonction $f$ :
picture-in-text De plus, $f(-1)=(-1)^3-(-1)+2=-1+1+2=2$
$f(1)=1-1+2=2$
$f\left(-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)\approx 2,38\ f\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)\approx 1,62$

$\begin{array}{c|ccccccccccc} x & -1 & -0,8 & -0,6 & -0,4 & -0,2 & 0 & 0,2 & 0,4 & 0,6 & 0,8 & 1 \\ \hline f(x) & 2 & 2,29 & 2,38 & 2,34 & 2,19 & 2 & 1,81 & 1,66 & 1,62 & 1,71 & 2 \end{array}$

picture-in-text

$I=\displaystyle\int_{-1}^{1} f(x)\,dx=\displaystyle\int_{-1}^{1} (x^3-x+2)\,dx\\=\displaystyle\int_{-1}^{1} x^3\,dx-\displaystyle\int_{-1}^{1} x\,dx+2\displaystyle\int_{-1}^{1} dx\\=\left[\dfrac{1}{4}x^4\right]{-1}^{1}-\left[\dfrac{1}{2}x^2\right]{-1}^{1}+2[x]_{-1}^{1}\\ =\dfrac{1}{4}\times 1^4-\dfrac{1}{4}\times (-1)^4-\left(\dfrac{1}{2}\times 1^2-\dfrac{1}{2}\times (-1)^2\right)+2\left(1-(-1)\right)\\ =\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+2\times 2\ \hspace{10pt}=4$
D'où : $I=4$ u.a.

Partie B

$g$ est dérivable sur $[-1;~1]$ et pour tout $x$ de $[-1;~1]$ , on a :
$g'(x)=1\times \text e^x+(x-1)\text e^x\\ =(1+x-1)\text e^x\\ =x\text e^x$
Pour tout réel $x$ de $[-1;~1]$ , $\text e^x>0$ .
Donc : $g'(x)$ est du signe de $x$ .
D'où :
$g'(x)\leq 0 \text{ si } x\in[-1;~0]\ \text{et } g'(x)\geq 0 \text{ si } x\in[0;~1]$ .
On en déduit alors les variations de $g$ sur $[-1;~1]$ :
$g$ est décroissante sur $[-1;~0]$ et $g$ est croissante sur $[0;~1]$ .

Tableau de variations de la fonction $g$ :

picture-in-text
De plus, $g(-1)=(-1-1)\text e^{-1}+2=-2\text e^{-1}+2 \small \approx 1,26$
$g(0)=-1+2=1$
$g(1)=2$

$\begin{array}{c|cccccccc} x & -1 & -0,8 & -0,4 & 0 & 0,4 & 0,6 & 0,8 & 1 \\ \hline g(x) & 1,26 & 1,19 & 1,06 & 1 & 1,10 & 1,27 & 1,55 & 2 \end{array}$

cf graphique (question A.4.)
a) Pour tout réel $x$ de $[-1;~1]$ , on a :
$G'(x)=1\times \text e^x+(x-2)\text e^x+2\ =(1+x-2)\text e^x+2\ =(x-1)\text e^x+2\ =g(x)$

D'où : $G$ est une primitive de $g$ sur $[-1;~1]$ .

b)
$\displaystyle\int_{-1}^{1} g(x)\,dx=\left[G(x)\right]{-1}^{1}\ \hspace{5pt}=\left[(x-2)\text e^x+2x\right]{-1}^{1}\ \hspace{5pt}=(1-2)\text e^1+2\times 1-\left[(-1-2)\text e^{-2}+2\times (-1)\right]\ \hspace{5pt}=-\text e+2+3\text e^{-1}+2\ \hspace{5pt}=3\text e^{-1}-\text e+4$
D'où : $J=3\text e^{-1}-\text e+4$ u.a.

Partie C

a)
$A=\displaystyle\int_{-1}^{1} \left(f(x)-g(x)\right)\,dx\\ A=\displaystyle\int_{-1}^{1} f(x)\,dx-\displaystyle\int_{-1}^{1} g(x),dx\\ A=I-J\\ A=4-3\text e^{-1}+\text e-4\\ A=-3\text e^{-1}+\text e$
D'où : $A=\text e-3\text e^{-1}$ u.a.
b) Une unité d'aire correspond à 25 cm², donc : $\mathcal{A}\approx 40,37~\text{cm}^2$ .

Énoncé

Un club sportif confie l'élaboration d'un logo à une agence. Celle-ci choisit un " drapeau " pour motif.

$f'$ désigne la fonction dérivée de $f$ : calculer $f'(x)$ .
Déterminer le signe de $f'(x)$ sur $[-1;~1]$ sachant que $f'(x)=3\left(x+\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)\left(x-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)$ et dresser le tableau de variation de $f$ sur cet intervalle.
On indiquera pour $f\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)$ et $f\left(-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)$ des valeurs approchées décimales arrondies au centième.
Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant :
(On donnera des valeurs approchées décimales arrondies au centième).

$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} x & -1 & -0,8 & -0,6 & -0,4 & -0,2 & 0 & 0,2 & 0,4 & 0,6 & 0,8 & 1 \\ \hline f(x) & & & 2,38 & & & & & 1,66 & & & \end{array}$

Tracer $\mathcal{C}_f$ sur la feuille de papier millimétré.
Calculer l'intégrale $I=\displaystyle\int_{-1}^{1} f(x)\,\text dx$ .

Montrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $[-1;~1]$ , $g'(x)=x\text e^x$ où $g'$ désigne la fonction dérivée de $g$ .
Etudier le signe de $g'(x)$ sur $[-1;~1]$ et dresser le tableau de variation de $g$ .
Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant :
(On donnera des valeurs approchées décimales arrondies au centième).

$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|} x & -1 & -0,8 & -0,4 & 0 & 0,4 & 0,6 & 0,8 & 1 \\ \hline g(x) & & 1,19 & & & & 1,27 & & \end{array}$

Tracer $\mathcal{C}_g$ dans le même repère $(O;~\overrightarrow{i},~\overrightarrow{j})$ que précédemment.
On considère la fonction $G$ définie sur l'intervalle $[-1;~1]$ par $G(x)=(x-2)\text e^x+2x$ .
a) Montrer que $G$ est une primitive de $g$ sur $[-1;~1]$ .
b) Calculer l'intégrale $J=\displaystyle\int_{-1}^{1} g(x)\,\text dx$ .

Partie C
La partie du plan $\mathcal{A}$ limitée par les courbes $\mathcal{C}_f$ , $\mathcal{C}_g$ et par la droite d'équation $x=-1$ représente la toile du drapeau.

Placer les points $P(-1;~2)$ et $Q(-1;~0)$ puis tracer le segment $[PQ]$ pour achever le motif.
On suppose que, pour tout $x$ de l'intervalle $[-1;~1]$ , $f(x)\geq g(x)$ et que l'aire de la partie $\mathcal{A}$ du plan est donnée, en unités d'aires, par $A=\displaystyle\int_{-1}^{+1} (f(x)-g(x)),dx$ .
a) Calculer la valeur exacte de $A$ .
b) En déduire une valeur approchée à $10^{-2}$ près de l'aire de $\mathcal{A}$ exprimée en $\text{cm}^2$ .

Partie A

$f$ est dérivable sur $[-1;~1]$ et pour tout $x$ de $[-1;~1]$ , on a :
$f'(x)=3x^2-1\ f'(x)=3\left(x^2-\dfrac{1}{3}\right)\ f'(x)=3\left(x-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)\left(x+\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)$
Comme $3>0$ , $f'(x)$ est du signe de $\left(x-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)\left(x+\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)$ .
Or, $x-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\geq 0 \text{ si et seulement si } x\geq\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
et $x+\dfrac{1}{\sqrt{3}}\geq 0 \text{ si et seulement si } x\geq-\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
D'où le tableau de signes suivant :

$\begin{array}{c|ccccccccccc} x & -1 & -0,8 & -0,6 & -0,4 & -0,2 & 0 & 0,2 & 0,4 & 0,6 & 0,8 & 1 \\ \hline f(x) & 2 & 2,29 & 2,38 & 2,34 & 2,19 & 2 & 1,81 & 1,66 & 1,62 & 1,71 & 2 \end{array}$

picture-in-text

Partie B

$g$ est dérivable sur $[-1;~1]$ et pour tout $x$ de $[-1;~1]$ , on a :
$g'(x)=1\times \text e^x+(x-1)\text e^x\\ =(1+x-1)\text e^x\\ =x\text e^x$
Pour tout réel $x$ de $[-1;~1]$ , $\text e^x>0$ .
Donc : $g'(x)$ est du signe de $x$ .
D'où :
$g'(x)\leq 0 \text{ si } x\in[-1;~0]\ \text{et } g'(x)\geq 0 \text{ si } x\in[0;~1]$ .
On en déduit alors les variations de $g$ sur $[-1;~1]$ :
$g$ est décroissante sur $[-1;~0]$ et $g$ est croissante sur $[0;~1]$ .

Tableau de variations de la fonction $g$ :

picture-in-text
De plus, $g(-1)=(-1-1)\text e^{-1}+2=-2\text e^{-1}+2 \small \approx 1,26$
$g(0)=-1+2=1$
$g(1)=2$

$\begin{array}{c|cccccccc} x & -1 & -0,8 & -0,4 & 0 & 0,4 & 0,6 & 0,8 & 1 \\ \hline g(x) & 1,26 & 1,19 & 1,06 & 1 & 1,10 & 1,27 & 1,55 & 2 \end{array}$

cf graphique (question A.4.)
a) Pour tout réel $x$ de $[-1;~1]$ , on a :
$G'(x)=1\times \text e^x+(x-2)\text e^x+2\ =(1+x-2)\text e^x+2\ =(x-1)\text e^x+2\ =g(x)$

D'où : $G$ est une primitive de $g$ sur $[-1;~1]$ .

b)
$\displaystyle\int_{-1}^{1} g(x)\,dx=\left[G(x)\right]{-1}^{1}\ \hspace{5pt}=\left[(x-2)\text e^x+2x\right]{-1}^{1}\ \hspace{5pt}=(1-2)\text e^1+2\times 1-\left[(-1-2)\text e^{-2}+2\times (-1)\right]\ \hspace{5pt}=-\text e+2+3\text e^{-1}+2\ \hspace{5pt}=3\text e^{-1}-\text e+4$
D'où : $J=3\text e^{-1}-\text e+4$ u.a.

Partie C

a)
$A=\displaystyle\int_{-1}^{1} \left(f(x)-g(x)\right)\,dx\\ A=\displaystyle\int_{-1}^{1} f(x)\,dx-\displaystyle\int_{-1}^{1} g(x),dx\\ A=I-J\\ A=4-3\text e^{-1}+\text e-4\\ A=-3\text e^{-1}+\text e$
D'où : $A=\text e-3\text e^{-1}$ u.a.
b) Une unité d'aire correspond à 25 cm², donc : $\mathcal{A}\approx 40,37~\text{cm}^2$ .

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