Propriétés des intégrales

$1.$ Soit $f$ une fonction continue sur $[a\,;b]$.

$\displaystyle\int_a^af(x)\text dx=0$

$2.$ Soit $f$ une fonction continue sur $[a\,;b]$.

$\displaystyle\int_a^b f(x)\text dx=-\displaystyle\int_b^a f(x)\text dx$

$3.$ Relation de Chasles : Soit $f$ une fonction continue sur $[a\,;c]$ et $b\in [a\,;c]$

$\begin{aligned}\int_{a}^{c} f(x) \text{ d}x\end{aligned} = \begin{aligned}\int_{a}^{b} f(x) \text{ d}x\end{aligned} +\begin{aligned}\int_{b}^{c} f(x) \text{ d}x\end{aligned}$

$4.$ Positivité de l'intégrale

Propriété : Soient $a \text{ et } b$ deux réels tels que $a\lt b$ et $f$ une fonction continue sur l’intervalle $[a,b]$, alors :

$\circ$ Si $f$ est positive sur l’intervalle $[a,b]$, alors : $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \text{ d}x\geq 0$

$\circ$ Si $f$ est négative sur l’intervalle $[a,b]$, alors : $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \text{ d}x\leq 0$

Attention : La réciproque est fausse en général.Contre-exemple : On a : $\displaystyle\int_{-1}^{2} 2x \text{ d}x=\left[x^2\right]_{-1}^2=3\geq 0$ Mais la fonction $x\mapsto 2x$ n’est pas positive sur $[-1,2]$ puisqu’elle est négative sur $[-1,0]$.

$5.$ Linéarité de l'intégrale

Soient $a \text{ et } b$ deux réels tels que $a\lt b$, $f \text{ et } g$ deux fonctions continues sur l’intervalle $[a,b]$ et $k$ un réel quelconque. On a : $\displaystyle\int_{a}^{b} (f+g)(x) \text{ d}x=\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \text{ d}x+\displaystyle\int_{a}^{b} g(x) \text{ d}x$ et $\displaystyle\int_{a}^{b} kf(x) \text{ d}x=k\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \text{ d}x$

$6.$ Ordre (croissance de l'intégrale)

Propriété : Soient $a \text{ et } b$ deux réels tels que $a\lt b$ et $f \text{ et } g$ deux fonctions continues sur l’intervalle $[a,b]$ telles que, pour tout $x \text{ de } [a,b]\text{ : }f(x)\leq g(x)$.Alors : $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \text{ d}x\leq \displaystyle\int_{a}^{b} g(x) \text{ d}x$

Remarque : La réciproque est fausse en général.

Exemple :

On a, pour tout $x$ appartenant à $[0,4]$ : $x^2 \leq 4x$

(car $x^2 - 4x = x(x-4) \leq 0$ sur $[0,4]$)

Donc : $\displaystyle \int_0^4 x^2 \text{ d}x \leq \displaystyle \int_0^4 4x \text{ d}x$

On peut le vérifier par le calcul :

$\displaystyle \int_0^4 x^2 \text{ d}x = \left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^4 = \dfrac{64}{3}$

$\displaystyle \int_0^4 4x \text{ d}x = \left[2x^2\right]_0^4 = 32$

Or :

$\dfrac{64}{3} \approx 21,33 \leq 32$