Définition géométrique de l'intégrale

I- Intégrale d'une fonction positive

Soient $a \text{ et } b$ deux réels tels que $a\lt b$ et soit $f$ une fonction continue et positive sur l'intervalle $[a,b]$. On se propose de déterminer l'aire délimitée par la courbe représentative de la fonction $f$ notée $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=a \text{ et } x=b$. Autrement dit, cette aire représente l'ensemble des points $M(x,y)$ dont les coordonnées vérifient : $a\leq x\leq b \text{ et } 0\leq y\leq f(x)$.

Commençons par présenter l'unité d'aire dans un repère, c'est l'une des notions fondamentales de ce cours :

Définition : Unité d'aire L'unité d'aire dans un repère $\left(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)$ est l'aire du rectangle $OIKJ$ où $I(1,0),J(0,1)\text{ et } K(1,1)$, elle est souvent notée $U.A$

$1U.A=OI\times OJ = ||\overrightarrow{i}||\times ||\overrightarrow{j}||$

Exemples : Dans le cas d'un repère orthonormé $\left(O; \overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)$ tel que $||\overrightarrow{i}||=||\overrightarrow{j}||=1\text{ cm}$ donc $\text{ : } 1U.A=1\text{ cm}^2$

Dans la figure précédente, on a $||\overrightarrow{j}||=1\text{ cm} \text{ et }||\overrightarrow{i}||=2\text{ cm} \text{ , donc : } 1U.A=2\text{ cm}^2$

Définition : Intégrale d'une fonction continue positive Soit $f$ une fonction continue et positive sur l'intervalle $[a,b]$. On appelle l'intégrale de la fonction $f$ de $a$ à $b$ et on note $\displaystyle \int_a^b f(x)\text{d}x$ l'aire $\mathcal{A}$ délimitée par la courbe représentative de la fonction $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=a \text{ et } x=b$ en unité d'aire $U.A$.

Exemple : Soit $f$ la fonction linéaire définie sur $\mathbb{R}$ par: $f(x)=x$ représentée graphiquement sur deux repères différents :

L'aire hachurée $\mathcal{A}$ en $U.A$ est dans les deux cas égale à: $\small\displaystyle \int_0^2 f(x)\text{d}x=\mathcal{A}= \displaystyle \int_0^2 x\text{d}x=\dfrac{2OI\times 2OJ}{2}=2 U.A$

Par contre, en $\text{ cm}^2$, les deux aires ne seront plus égales parce que les deux repères n'ont pas la même $U.A$:

L'unité d'aire dans le cas de la première figure : $1U.A=||\overrightarrow{i}||\times ||\overrightarrow{j}||=1\times 1= 1\text{ cm}^2$, ce qui veut dire que dans ce cas: $\mathcal{A}=2 U.A=2 \text{ cm}^2$

L'unité d'aire dans le cas de la seconde figure : $1U.A=||\overrightarrow{i}||\times ||\overrightarrow{j}||=2\times 1= 2\text{ cm}^2$, donc: $\mathcal{A}=2 U.A=2 \times 2 \text{ cm}^2=4\text{ cm}^2$

Remarque : La variable $x$ dans la notation $\displaystyle \int_a^b f(x)\text{d}x$ est dite muette, elle intervient dans le calcul comme on va le voir dans les paragraphes suivants mais pas dans le résultat final, on peut la remplacer par n'importe quelle autre variable :

$\small\displaystyle \int_a^b f(x)\text{d}x= \displaystyle \int_a^b f(t)\text{d}t=\displaystyle \int_a^b f(y)\text{d}y=\displaystyle \int_a^b f(u)\text{d}u=\cdots$

II. Méthode des rectangles

Bien souvent, on ne connaît pas de primitive de la fonction proposée, et on peut par exemple utiliser la méthode des rectangles pour approcher l'aire sous la courbe. Nous allons appliquer cette méthode sur la fonction carré, tout en sachant que dans ce cas particulier, nous saurions calculer l'aire exacte.

Pour estimer l'aire sous la courbe $y=x^2$ sur l'intervalle $[0,1]$, on divise cet intervalle en $n$ sous-intervalles de même longueur $\dfrac{1}{n}$. Sur chaque sous-intervalle, on construit un rectangle de hauteur égale à la valeur de la fonction en un point choisi, soit l'extrémité gauche par exemple, ou l'extrémité droite, suivant que l'on désire une valeur inférieure à l'aire, une valeur supérieure, en fonction également de la croissance de la courbe étudiée.

Par cette approche graphique, on trouve que l'aire sous la courbe est comprise entre $a=0,25$ et $b=0,42$. Plus le nombre d'intervalles sera grand, plus l'encadrement sera meilleur. Ici, l'intervalle $[0;1]$ a été divisé en $6$.

En réalité les expressions de $a$ et $b$ sont respectivement :

$a=\dfrac 16\left[f(\frac 06)+f(\frac 16)+f(\frac 26)+\cdots+ f(\frac 56)\right]\approx 0,25$

et $b=\dfrac 16\left[f(\frac 16)+f(\frac 26)+\cdots+ f(\frac 56)+f(\frac 66)\right]\approx 0,42$

$a=s_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}f\Bigl(\dfrac{k}{n}\Bigr)\times\dfrac{1}{n}$ et $b=S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}f\Bigl(\dfrac{k}{n}\Bigr)\times\dfrac{1}{n}$

Si nous prenons $n=10$, nous obtenons cet encadrement : $0,29\lt \mathcal A \lt 0,38$.

Et lorsque $n$ devient très grand, on obtient
$\lim\limits_{n\to +\infty}S_n=\begin{aligned}\int_0^1{x^2}\text{d}x\end{aligned}$ $=\dfrac{1}{3}$.

On fait ainsi la somme de cette infinité d’aire et on remplace alors le symbole $\Sigma$ par le symbole $\displaystyle\int$ et on est passé

$\checkmark$ du discret : $\displaystyle \sum_{i=1}^{i=n}f(x_i)\Delta (x_i)$

$\checkmark$ au continu : $\displaystyle\int_a^b f(x)\,\text dx$.

_{Merci à Panter et à Malou pour avoir participé à l'élaboration de cette fiche.}