Développer, factoriser et résolution d'équations

Exercice 1

• Développement de l'expression $E$ :
  $E = (2x - 3)(x + 2) - 5(2x - 3)$
  $E = 2x^2 + 4x - 3x - 6 - 10x + 15$
  $E = 2x^2 - 9x + 9$
  👉 Conseil : pense à bien distribuer chaque terme du premier facteur dans la parenthèse, puis à regrouper les termes semblables pour simplifier.

• Factorisation de l'expression $E$ :
  $E = (2x - 3)(x + 2) - 5(2x - 3)$
  $E = \boxed{(2x - 3)}(x + 2) - 5\boxed{(2x - 3)}$

  $E = \boxed{(2x - 3)}(x + 2 - 5)$
  $E = (2x - 3)(x + 2 - 5)$
  $E = (2x - 3)(x - 3)$
  👉 Conseil : remarque que $(2x - 3)$ est un facteur commun : on peut le mettre en évidence pour simplifier plus vite.

• Calcul de $E$ pour $x = -2$ :
  $E = 2x^2 - 9x + 9$
  Pour $x = -2$,
  $E = 2 \times (-2)^2 - 9 \times (-2) + 9 = 2 \times 4 + 18 + 9 = 8 + 27 = 35$
  👉 Conseil : attention au signe lors de la substitution : $(-2)^2 = 4$ et non $-4$ !

• Résolution de l’équation $(2x - 3)(x - 3) = 0$ :
  Un produit de facteurs est nul si l’un au moins de ses facteurs est nul.
  $2x - 3 = 0$ ou $x - 3 = 0$
  $2x = 3$ ou $x = 3$
  $x = \dfrac{3}{2}$
  Les solutions de l’équation sont $x = \dfrac{3}{2}$ et $x = 3$.
  👉 Conseil : dès que tu vois un produit nul, pense à appliquer la règle du produit nul : elle te permet de résoudre sans développer.

Exercice 2

• Développement de l’expression $A$ :
  $A = (2x + 3)^2 + (2x + 3)(5x - 7)$
  👉 Conseil : on va utiliser la double distributivité pour le premier terme

$A = (2x + 3)(2x + 3) + (2x + 3)(5x - 7)$
$A = (2x)(2x) + (2x)\times3 + 3\times(2x) + 3\times3 + (2x)\times(5x) + (2x)\times(-7) + 3\times(5x) + 3\times(-7)$
$A = 4x^2 + 6x + 6x + 9 + 10x^2 - 14x + 15x - 21$
$A = 14x^2 + 13x - 12$
👉 Conseil : regroupe toujours les termes semblables (les $x^2$ ensemble, puis les $x$, puis les nombres) pour simplifier ton expression.

• Factorisation de l’expression $A$ :
  $A = (2x + 3)^2 + (2x + 3)(5x - 7)$

  $A=\boxed{(2x + 3)}(2x+3)+\boxed{(2x + 3)}(5x-7)$
  $A = \boxed{(2x + 3)}[(2x + 3) + (5x - 7)]$

  $A = (2x + 3)[(2x + 3) + (5x - 7)]$
  $A = (2x + 3)[2x + 3 + 5x - 7]$
  $A = (2x + 3)(7x - 4)$
  👉 Conseil : repère le facteur commun $\boxed{(2x + 3)}$ pour aller plus vite : tu gagnes du temps et évites les erreurs de signe.

• Résolution de l’équation $(2x + 3)(7x - 4) = 0$ :
  C’est une équation produit-nul.
  Un produit de facteurs est nul si l’un au moins de ses facteurs est nul.
  $2x + 3 = 0$ ou $7x - 4 = 0$
  $2x = -3$ ou $7x = 4$
  $x = -\dfrac{3}{2}$ ou $x = \dfrac{4}{7}$
  Les solutions de l’équation sont donc $x = -\dfrac{3}{2}$ et $x = \dfrac{4}{7}$.
  👉 Conseil : dès que tu vois un produit nul, sépare les deux équations simples : tu obtiens directement les deux solutions sans développer.