Résoudre une équation produit

I. Produit de facteurs nul

Propriété :

Soient $A$ et $B$ deux quantités.

$\checkmark$ Si $A=0$ alors $A\times B=0$ ; si $B=0$ alors $A\times B=0$

$\checkmark$ Si $A\times B=0$, alors $A=0$ ou $B=0$

Le produit $A\times B$ ne peut être nul que si l'un au moins des facteurs $A$ ou $B$ est nul.

II. Application à la résolution d'équation produit

Soit à résoudre l'équation $(x-2)(x+3)=0$

Les questions à se poser :

$\checkmark$ Est-ce bien un produit dans le membre de gauche ? oui, car $(x-2)(x+3)$ est l'écriture de $(x-2)\times (x+3)$

$\checkmark$ Le produit qu'on me propose doit-il être nul ? oui, car le membre de droite est réduit au nombre $0$.

J'applique la propriété vue précédemment :

Le produit de facteurs est nul si l'un au moins des facteurs est nul.

$(x-2)(x+3)=0$ équivaut à dire $x-2=0$ ou $x+3=0$

Il suffit ensuite de résoudre chacune des équations :

$\quad\circ$ $x-2=0$ pour $x=2$

$\quad\circ$ $x+3=0$ pour $x=-3$

Conclusion :

$(x-2)(x+3)=0$ équivaut à dire $x=2$ ou $x=-3$.

L'équation produit nul proposée admet deux solutions qui sont les nombres $2$ et $-3$.

III. Une autre équation

Soit à résoudre l'équation d'inconnue $t$, $(t-1)(t-2)=2$.

$\checkmark$ Ai-je un produit dans un des deux membres ? oui, dans le membre de gauche

$\checkmark$ Ce produit est-il nul ? non, car il doit être égal à $2$

On ne peut donc pas appliquer actuellement la méthode de résolution d'une équation produit nul.

Et si nous développions le membre de gauche en utilisant la double distributivité ?

$(t-1)(t-2)=2$

$t^2-2t-t+2=2$

Je réduis : $t^2-3t+2=2$

Je retranche $2$ aux deux membres : $t^2-3t+2-2=2-2$

Je réduis : $t^2-3t=0$

Je factorise le membre de gauche : $t\times (t-3)=0$

Le membre de gauche est un produit, le membre de droite vaut $0$.

Nous avons une équation produit nul désormais. Ce produit est nul si l'un des termes est nul.

$t=0$ ou $t-3=0$ soit $t=0$ ou $t=3$

L'ensemble solution de cette équation est : $S=\{0\;;\;3\}$