Cosinus, sinus, tangente (1)

La figure n'est pas à l'échelle.

1. Dans le triangle $ACH$ rectangle en $H$ on a :
   $\sin \widehat{HCA}=\dfrac{AH}{AC}$.
   Donc $\sin 37=\dfrac{AH}{4}$.
   Par conséquent $AH=4\sin 37\approx 2{,}41\ \text{cm}$.
   👉 Conseil : repère l’angle dont tu connais la mesure et utilise directement la définition du sinus pour relier « hauteur » et « côté de base ».

Dans le triangle $ABH$ rectangle en $H$ on a :
$\tan \widehat{ABH}=\dfrac{AH}{HB}=\dfrac{2{,}41}{5}$.
Donc $\widehat{ABH}\approx 25{,}71^\circ$.

👉 Conseil : une fois $AH$ connu, la tangente de l’angle au pied de la hauteur donne immédiatement l’angle en utilisant $\tan=\dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}$.

2. Le réel $x$ est tel que $0\leq x<90$ on a $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$.
   Donc :
   $1+(\tan x)^2=1+\left(\dfrac{\sin x}{\cos x}\right)^2$
   $=1+\dfrac{(\sin x)^2}{(\cos x)^2}$
   $=\dfrac{(\sin x)^2+(\cos x)^2}{(\cos x)^2}$
   $=\dfrac{1}{(\cos x)^2}$.
   

   👉 Conseil : pense à remplacer $1$ par $\dfrac{(\cos x)^2}{(\cos x)^2}$ puis utilise l’identité $(\sin x)^2+(\cos x)^2=1$.