Cosinus, sinus, tangente (2)

Exercice 1 — Le triangle 3-4-5

a) Calculons les carrés des longueurs des côtés :
$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$.
Donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est rectangle en $C$.

👉 Conseil méthode : repère toujours les triplets pythagoriciens « $3$-$4$-$5$ », « $5$-$12$-$13$ », « $7$-$24$-$25$ » : un gain de temps pour identifier un angle droit.

b) Par définition, $\sin \widehat{A} = \dfrac{\text{côté opposé à } \widehat{A}}{\text{hypoténuse}} = \dfrac{3}{5} = 0{,}6$.

c) On en déduit les angles :
$\widehat{A} \approx 36{,}87^\circ$ et $\widehat{B} \approx 53{,}13^\circ$ (à $0{,}01^\circ$ près).

👉 Conseil méthode : pour passer de $\sin \widehat{A}$ à $\widehat{A}$, utilise la fonction $\arcsin$ de ta calculatrice en mode degrés, puis complète avec $90^\circ - \widehat{A}$ pour trouver l'angle $\widehat B$dans le triangle rectangle.

Exercice 2 — Le triangle 13-14-15

a) On place la hauteur $[AH]$ sur $[BC]$ avec $BH = x$ et $CH = 14 - x$.

Dans les triangles rectangles $ABH$ et $ACH$ :
$h^2 = 13^2 - x^2$ et $h^2 = 15^2 - (14 - x)^2$.
On égalise : $13^2 - x^2 = 15^2 - (14 - x)^2$.
On résout : $169 - x^2 = 225 - (196 - 28x + x^2) = 29 + 28x - x^2$,

d’où $169 = 29 + 28x$, donc $28x = 140$ et $x = 5$.
Alors $h^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$, donc $h = 12$.

👉 Conseil méthode : quand deux expressions valent $h^2$, pense à les égaler pour éliminer $h$ et ne garder qu’une inconnue.

b)

Étape 1 — On sait que $h=12$.

Étape 2 — Calcul de $\widehat{B}$ avec un triangle rectangle
Dans $ABH$ (rectangle en $H$), l’angle au sommet $B$ du triangle $ABC$ coïncide avec l’angle $\widehat{ABH}$.
On peut utiliser $\cos \widehat{B} = \dfrac{BH}{AB} = \dfrac{5}{13}$.
Donc $\widehat{B} = \arccos\left(\dfrac{5}{13}\right) \approx 67{,}38^\circ$ (à $0{,}01^\circ$ près).
(On aurait pu travailler avec le sinus : $\sin \widehat{B} = \dfrac{AH}{AB} = \dfrac{12}{13}$.)

👉 Conseil méthode : pour relier un angle d’un triangle quelconque à un triangle rectangle, appuie-toi sur la hauteur : au sommet $B$, l’angle $\widehat{B}$ est le même que dans $ABH$ car $H$ est sur la droite $(BC)$.

Étape 3 — Calcul de $\widehat{C}$ avec un triangle rectangle
Dans $ACH$ (rectangle en $H$), l’angle au sommet $C$ du triangle $ABC$ coïncide avec l’angle $\widehat{ACH}$.
On a $\cos \widehat{C} = \dfrac{CH}{AC} = \dfrac{14 - x}{15} = \dfrac{9}{15} = \dfrac{3}{5}$.
Donc $\widehat{C} = \arccos\left(\dfrac{3}{5}\right) \approx 53{,}13^\circ$ (à $0{,}01^\circ$ près).
(On aurait pu travailler avec le sinus: $\sin \widehat{C} = \dfrac{AH}{AC} = \dfrac{12}{15} = \dfrac{4}{5}$.)

👉 Conseil méthode : dans un triangle rectangle, choisis la fonction trigonométrique qui évite les racines carrées inutiles (ici un rapport simple de longueurs connues).

Étape 4 — Calcul de $\widehat{A}$ par somme des angles d’un triangle
$\widehat{A} = 180^\circ - \widehat{B} - \widehat{C} \approx 180^\circ - 67{,}38^\circ - 53{,}13^\circ \approx 59{,}49^\circ$ (à $0{,}01^\circ$ près).

👉 Conseil méthode : garde trois décimales sur les cosinus/sinus, mais ne tronque les angles qu’à la fin pour respecter la précision demandée.

Récapitulatif
$x = 5$, $h = 12$.
$\widehat{B} \approx 67{,}38^\circ$, $\widehat{C} \approx 53{,}13^\circ$, $\widehat{A} \approx 59{,}49^\circ$.

Exercice 3 — Sans connaître l’angle $\widehat{A}$

On donne $\sin \widehat{A} = 0{,}352$.
Alors $\cos \widehat{A} = \sqrt{1 - \sin^2 \widehat{A}} = \sqrt{1 - 0{,}352^2} = \sqrt{0{,}876096} \approx 0{,}936$ (à $10^{-3}$ près).
La tangente vaut $\tan \widehat{A} = \dfrac{\sin \widehat{A}}{\cos \widehat{A}} \approx \dfrac{0{,}352}{0{,}936} \approx 0{,}376~068$ (à $0{,}000\,001$ près).

👉 Conseil méthode : pense à l’identité fondamentale $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ pour retrouver $\cos x$ à partir de $\sin x$, puis $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$.