Contenances et volumes

Exercice n°1 — Conversions de volumes et de capacités

et aussi :

👉 Rappels : $1~\text{m}^3 = 1~000~\text{L}$, $1~\text{L} = 1~\text{dm}^3 = 1~000~\text{cm}^3$, et $1~\text{hL} = 100~\text{L}$, $1~\text{cL} = 0{,}01~\text{L}$, $1~\text{mL} = 0{,}001~\text{L}$.

a) Je sais que $1~\text{dm}^3 = 1~\text{L}$ et que $1~000~\text{dm}^3 = 1~\text{m}^3$. Ainsi, en divisant par $1~000$, je convertis $1~200~\text{dm}^3$ en mètres cubes :
$1~200~\text{dm}^3 = 1{,}2~\text{m}^3$.
Comme $1~\text{dm}^3 = 1~\text{L}$, je peux aussi écrire directement :
$1~200~\text{dm}^3 = 1~200~\text{L}$.

b) Pour convertir $0{,}35~\text{m}^3$ en litres, j’utilise $1~\text{m}^3 = 1~000~\text{L}$. Je multiplie donc par $1~000$ :
$0{,}35~\text{m}^3 = 350~\text{L}$.
Je passe ensuite en centilitres en multipliant par $100$ :
$350~\text{L} = 35~000~\text{cL}$.
Je passe finalement en millilitres en multipliant par $1,000$ :
$350~\text{L} = 350~000~\text{mL}$.

c) Je sais que $1~\text{L} = 1~\text{dm}^3$. Donc :
$45~\text{L} = 45~\text{dm}^3$.
Pour obtenir des mètres cubes, je divise par $1~000$ :
$45~\text{L} = 0{,}045~\text{m}^3$.
Pour obtenir des centimètres cubes, je multiplie par $1~000$ :
$45~\text{L} = 45~000~\text{cm}^3$.

d) Je convertis d’abord les hectolitres en litres à l’aide de $1~\text{hL} = 100~\text{L}$ :
$2{,}5~\text{hL} = 250~\text{L}$.
Je passe ensuite en mètres cubes en divisant par $1,000$ :
$250~\text{L} = 0{,}25~\text{m}^3$.

Exercice n°2 — Problèmes de remplissage (correspondance volume ↔ capacité)

a) L'aquarium

Pour calculer le volume de l’aquarium, je multiplie les trois dimensions exprimées dans la même unité. Toutes les mesures sont en centimètres, donc le volume sera en $\text{cm}^3$ :
$V = 80\times 40\times 50 = 160~000~\text{cm}^3$.

Je convertis ensuite en litres en utilisant $1~\text{L} = 1~000~\text{cm}^3$ :
$160~000~\text{cm}^3 = 160~\text{L}$.
Pour connaître le nombre de bouteilles de $1{,}5~\text{L}$ nécessaires, je divise le volume total par la contenance d’une bouteille :
$160\div 1{,}5 \approx 106{,}6\ldots$
Comme je ne peux prendre que des bouteilles entières, il faut $107$ bouteilles pour remplir complètement l’aquarium (la dernière ne sera pas entièrement utilisée).

Réponse : le volume vaut $160~\text{L}$ et il faut $107$ bouteilles de $1{,}5~\text{L}$.

b) La cuve

Je calcule d’abord le volume total de la cuve en mètres, car les trois dimensions sont en mètres :
$V_{\text{total}} = 1{,}2\times 0{,}8\times 0{,}5 = 0{,}48~\text{m}^3$.
La cuve n’est remplie qu’à $75~$, donc je multiplie par $0{,}75$ :
$V_{\text{eau}} = 0{,}48\times 0{,}75 = 0{,}36~\text{m}^3$.
Je convertis en litres en multipliant par $1,000$ :
$0{,}36~\text{m}^3 = 360~\text{L}$.
Réponse : la cuve contient $0{,}36~\text{m}^3$ d’eau, soit $360~\text{L}$.

c) La boîte et les petits cubes

Pour remplir la boîte avec des cubes, je compte combien de cubes tiennent sur chaque dimension en effectuant des divisions entières.
Sur la longueur : $30\div 3 = 10$ cubes.
Sur la largeur : $24\div 3 = 8$ cubes.
Sur la hauteur : $12\div 3 = 4$ cubes.
Le nombre total de petits cubes est donc le produit $10\times 8\times 4 = 320$.

Je vérifie avec les volumes : la boîte a pour volume $30\times 24\times 12 = 8,640~\text{cm}^3$ et un petit cube a pour volume $3\times 3\times 3 = 27~\text{cm}^3$ ;

$8~640\div 27 = 320$, ce qui confirme le calcul.

👉 cette méthode avec les volumes n'est valable que parce que les mesures de la boîte sont des multiples du côté du petit cube.

Réponse : on peut ranger exactement $320$ petits cubes.

Exercice n°3 — Volumes du cube et du parallélépipède rectangle (avec conversions)

a) Pour un cube, je sais que le volume est le produit des trois arêtes égales. Je calcule donc :
$V = 4\times 4\times 4 = 64~\text{cm}^3$.
Je convertis en litres à l’aide de $1~\text{L} = 1~000~\text{cm}^3$ :
$64~\text{cm}^3 = 0{,}064~\text{L}$.
Réponse : le volume vaut $64~\text{cm}^3$, soit $0{,}064~\text{L}$.

b) Pour ce parallélépipède, je commence par mettre toutes les dimensions dans la même unité (le mètre) afin d’obtenir un volume en $\text{m}^3$.
$80~\text{cm} = 0{,}80~\text{m}$ et $25~\text{cm} = 0{,}25~\text{m}$.
Je calcule ensuite le volume :
$V = 1{,}5\times 0{,}80\times 0{,}25 = 0{,}30~\text{m}^3$.
Je convertis en litres en multipliant par $1~000$ :
$0{,}30~\text{m}^3 = 300~\text{L}$.
Réponse : le volume vaut $0{,}30~\text{m}^3$, soit $300~\text{L}$.

c) Je choisis de travailler en décimètres pour utiliser directement l’égalité $1~\text{dm}^3 = 1~\text{L}$.
Je convertis chaque dimension : $45~\text{cm} = 4{,}5~\text{dm}$ ; $2{,}5~\text{dm}$ reste inchangé ; $0{,}3~\text{m} = 3~\text{dm}$.
Je calcule le volume en $\text{dm}^3$ :
$V = 4{,}5\times 2{,}5\times 3 = 33{,}75~\text{dm}^3$.
Comme $1~\text{dm}^3 = 1~\text{L}$, je traduis directement en litres :
$33{,}75~\text{dm}^3 = 33{,}75~\text{L}$.
Réponse : le volume vaut $33{,}75~\text{dm}^3$, soit $33{,}75~\text{L}$.