Des aires : un âne qui broute

Les flèches indiquent dans quel sens tourne l'âne, corde tendue.

On veut déterminer l’aire réelle que l’âne peut brouter, puis vérifier si elle atteint $300~m^2$.

Étape 1 : aire du grand secteur $FAE$ centré en $A$ (rayon $10$)

Depuis $A$, l’âne peut tourner autour, sauf dans le quart de disque “bloqué” par la cabane (à l’intérieur du rectangle).
Donc on obtient $3$ quarts de disque de rayon $10$.

$A_1=\dfrac{3}{4}\pi\times 10^2$
$A_1=\dfrac{3}{4}\pi\times 100$
$A_1=75\pi\approx 75\times 3{,}14=235{,}5~m^2$

👉 Conseil : “$3$ quarts” est logique car la cabane bloque seulement la zone située dans l’angle droit du rectangle.

Étape 2 : aire du quart de disque $DGF$ centré en $D$ (rayon $7$)

Quand la corde s’enroule le long de $AD=3$, il reste :
$10-3=7~m$

Donc, autour de $D$, l’âne peut brouter sur un quart de disque de rayon $7$.

$A_2=\dfrac{1}{4}\pi\times 7^2$
$A_2=\dfrac{1}{4}\pi\times 49$
$A_2=12{,}25\pi\approx 12{,}25\times 3{,}14=38{,}48~m^2$

👉 Conseil : autour d’un coin, on obtient très souvent un quart de cercle, parce que le rectangle “bloque” les autres directions.

Étape 3 : aire du quart de disque $EBK$ centré en $B$ (rayon $6$)

Quand la corde s’enroule le long de $AB=4$, il reste :
$10-4=6~m$

Donc, autour de $B$, l’âne peut brouter sur un quart de disque de rayon $6$.

$A_3=\dfrac{1}{4}\pi\times 6^2$
$A_3=\dfrac{1}{4}\pi\times 36$
$A_3=9\pi\approx 9\times 3{,}14=28{,}27~m^2$

👉 Conseil : ici aussi, le rayon correspond à “longueur restante” après avoir longé un côté.

Étape 4 : première somme (avant correction du chevauchement)

Si on additionne ces trois aires, on obtient :

$A_{somme}=A_1+A_2+A_3$
$A_{somme}\approx 235{,}5+38{,}48+28{,}27=302{,}25~m^2$

👉 Attention, on n’a pas encore enlevé la partie comptée deux fois.

Étape 5 : comprendre la zone chevauchée

Près du coin $C$, les tracés montrent une zone commune : c’est une partie qui est comptée à la fois dans l’aire autour de $B$ (rayon $6$) et dans l’aire autour de $D$ / trajectoire qui passe près de $C$ (selon le contour réel).

Sur le schéma, on repère le triangle rectangle $KCG$ (angle droit en $C$), avec :
$CK=3~m$ et $CG=3~m$

Donc :

$A_{triangle~KCG}=\dfrac{CK\times CG}{2}$
$A_{triangle~KCG}=\dfrac{3\times 3}{2}=4{,}5~m^2$

👉 Conseil : dès que tu vois un triangle rectangle, pense “base $\times$ hauteur ÷ $2$”.

Étape 6 : conclure sans calculer exactement la zone chevauchée

La zone chevauchée est au moins aussi grande que ce triangle (sur ton schéma, elle “contient” ce triangle), donc :

$A_{chevauchement}>4{,}5~m^2$

Alors l’aire réelle broutable vérifie :

$A_{réelle}=A_{somme}-A_{chevauchement}$
donc
$A_{réelle}<302{,}25-4{,}5=297{,}75~m^2$

Comme $297{,}75~m^2<300~m^2$, l’âne n’a pas assez d’herbe.

Conclusion : il faudra détacher l’âne avant la fin de la journée.

👉 Conseil : c’est une méthode très efficace quand l’aire exacte est compliquée : on fait une estimation sûre (ici “inférieure à $300$”), et ça suffit pour répondre.