Calculer un cosinus à partir des longueurs

Exercice 1

On considère un triangle $ABC$ rectangle en $A$.

L’angle droit est $\widehat{A}$, donc l’hypoténuse est le côté opposé à cet angle, c’est $BC$.
Le côté adjacent à l’angle $\widehat{ABC}$ est le côté $AB$.

On applique la définition du cosinus dans un triangle rectangle :
$cos(\widehat{ABC}) = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5}$.

👉 Conseil : écris toujours la formule du cosinus avec les lettres du triangle avant de remplacer par les nombres.

Exercice 2

Le triangle $DEF$ est rectangle en $D$, donc l’hypoténuse est $EF$.

On a :
$cos(\widehat{DEF}) = \dfrac{DE}{EF} = \dfrac{5}{13}$.

Cette valeur est comprise entre 0 et 1, donc le résultat est cohérent.

👉 Conseil : si tu obtiens un nombre supérieur ou égal à 1, c’est qu’il y a une erreur dans l’identification des côtés.

Exercice 3

Le triangle $GHI$ est rectangle en $H$, donc l’hypoténuse est $GI$.

On calcule :
$cos(\widehat{HGI}) = \dfrac{GH}{GI} = \dfrac{7}{9}$.

Cette valeur est comprise entre 0 et 1 car le côté adjacent est toujours plus petit que l’hypoténuse.

👉 Conseil : le cosinus est un quotient de longueurs, il n’a pas d’unité.

Exercice 4

Dans le triangle $JKL$ rectangle en $J$, l’hypoténuse est $KL$.

Pour l’angle $\widehat{JKL}$, le côté adjacent est $JK$, donc
$cos(\widehat{JKL}) = \dfrac{JK}{KL}$.

Pour l’angle $\widehat{JLK}$, le côté adjacent est $JL$, donc
$cos(\widehat{JLK}) = \dfrac{JL}{KL}$.

👉 Conseil : le dénominateur d’un cosinus est toujours l’hypoténuse.

Exercice 5

On compare $\dfrac{4}{5}$ et $\dfrac{7}{10}$.

$\dfrac{4}{5} = \dfrac{8}{10}$, donc
$\dfrac{8}{10} > \dfrac{7}{10}$.

Ainsi, $cos(\widehat{A})$ est plus grand que $cos(\widehat{B})$.

👉 Conseil : comparer des cosinus revient souvent à comparer des fractions.