Calculer une longueur à l’aide du cosinus

Exercice 1

👉 Conseil : fais toujours un croquis à main levée sur ton brouillon pour y reporter les données de ton exercice.

On considère un triangle $ABC$ rectangle en $A$.

Comme le triangle est rectangle en $A$, l’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit, donc $BC$.

Par définition du cosinus dans un triangle rectangle :
$cos(\widehat{ABC}) = \dfrac{AB}{BC}$.

On remplace par les valeurs connues :
$cos(30^\circ) = \dfrac{8}{BC}$.

On effectue un produit en croix :
$BC = \dfrac{8}{cos(30^\circ)}$.

Avec la calculatrice :
$BC \approx \dfrac{8}{0,866} \approx 9,2$.

👉 Conseil : quand tu cherches l’hypoténuse, elle doit toujours être au dénominateur dans la formule du cosinus.

Exercice 2

👉 Conseil : fais toujours un croquis à main levée sur ton brouillon pour y reporter les données de ton exercice.

Le triangle $DEF$ est rectangle en $D$, donc l’hypoténuse est $EF$.

Le côté adjacent à l’angle $\widehat{DEF}$ est le côté $DE$.

On écrit : $cos(\widehat{DEF}) = \dfrac{DE}{EF}$.

On remplace : $cos(40^\circ) = \dfrac{DE}{12}$.

On obtient : $DE = 12 \times cos(40^\circ)$.

Avec la calculatrice :
$DE \approx 12 \times 0,766 \approx 9,19$.

👉 Conseil : si tu cherches le côté adjacent, il sera au numérateur dans l’expression du cosinus.

Exercice 3

👉 Conseil : fais toujours un croquis à main levée sur ton brouillon pour y reporter les données de ton exercice.

Le triangle $GHI$ est rectangle en $H$, donc l’hypoténuse est $GI$.

On cherche à calculer le côté adjacent à l’angle $\widehat{HGI}$, c’est le côté $GH$.

On écrit la relation du cosinus : $cos(\widehat{HGI}) = \dfrac{GH}{GI}$.

On remplace par les données : $cos(55^\circ) = \dfrac{GH}{15}$.

On en déduit : $GH = 15 \times cos(55^\circ)$.

Avec la calculatrice :
$GH \approx 15 \times 0,574 \approx 8,61$.

La valeur obtenue est inférieure à l’hypoténuse, le résultat est donc cohérent.

👉 Conseil : vérifie toujours que la longueur trouvée est plus petite que l’hypoténuse.