Apprendre à mettre en équation un problème (3)

Exercice 1

Rappel de l'énoncé : Une mère a 30 ans, sa fille a 4 ans.
Dans combien d'années l'âge de la mère sera-t-il le triple de celui de sa fille ?

Soit $x$ le nombre d'années où l'âge de la mère sera le triple de celui de sa fille.

Dans $x$ années, la mère aura donc $30+x$ ans, et la fille aura $4+x$ ans.

Le triple correspond à $3$ fois : on obtient

$30 + x = 3(4 + x)$
$30 + x = 12 + 3x$
$2x = 18$
$x = 9$

Dans 9 ans :

• mère $= 30 + 9 = 39$

• fille $= 4 + 9 = 13$
  et $39 = 3 \times 13$.

Exercice 2

On veut déterminer combien de trèfles ont 3 feuilles et combien ont 4 feuilles, en tout 84 trèfles et 258 feuilles.

On pose $x$ le nombre de trèfles à 3 feuilles.
Alors le nombre de trèfles à 4 feuilles vaut $84 - x$.

Le total des feuilles vaut $258$, donc
$3x + 4(84 - x) = 258$
$3x + 336 - 4x = 258$
$-x + 336 = 258$
$-x = 258 - 336$
$-x = -78$
$x = 78$

Il y a donc $78$ trèfles à 3 feuilles et $84 - 78 = 6$ trèfles à 4 feuilles.
Réponse demandée (nombre de trèfles à 4 feuilles) : $6$.

Exercice 3

Rappel de l'énoncé : Dans une papeterie, 4 classeurs et 1 paquet de feuilles coûtent 72 euros, 3 classeurs et 2 paquets de feuilles coûtent 59 euros.

On cherche le prix d’un classeur et d’un paquet de feuilles. On ne veut qu’une seule inconnue.

On pose $y$ le prix d’un classeur (en francs).
D’après la première donnée « 4 classeurs et 1 paquet coûtent 72 francs », le prix d’un paquet vaut alors $72 - 4y$.

On remplace dans la seconde donnée « 3 classeurs et 2 paquets coûtent 59 euros » :
$3y + 2(72 - 4y) = 59$
$3y + 144 - 8y = 59$
$-5y + 144 = 59$
$-5y = 59 - 144$
$-5y = -85$
$y = 17$

Le prix d’un classeur est donc $17$ euros, et celui d’un paquet de feuilles vaut $72 - 4 \times 17 = 72 - 68 = 4$ euros.

Exercice 4

👉 On n'est pas toujours obligé de poser une inconnue. Voici une rédaction qui n'en emploie pas pour les questions a) et b).

Rappel de l'énoncé : Le premier devoir surveillé a duré une heure ; le deuxième a duré deux heures.
Coefficient 1 pour le premier, coefficient 2 pour le second.

a) Moyenne d’Alain

Alain a eu 15 au premier devoir et 9 au deuxième devoir. Calculer sa moyenne.

Sa moyenne vaut : $\dfrac{15+2\times 9}{3}=11$.

La moyenne d'Alain vaut $11$.

b) Boris a eu 8 au premier devoir. Sa moyenne est 12. Combien a-t-il eu au deuxième devoir ?

La moyenne de Boris sur 2 devoirs (total des coefficients 3) est $12$, le total à obtenir est donc $36$. Il lui manque donc $36-8=28$ points à obtenir avec un coefficient $2$, ce qui lui fait une note de $14$.

La seconde note de Boris est 14.

c) Rappel de l'énoncé : Carine a 12 de moyenne, mais en permutant ses deux notes, elle aurait 13 de moyenne. Quelles sont ses deux notes ?

J'appelle $x$ et $y$ les deux notes obtenues par Carine.

$12$ de moyenne obtenu avec un total de $3$ coefficients nous donne un total de $36$.

$13$ de moyenne obtenu avec un total de 3 coefficients nous donne un total de $39$.

Équations : $x + 2y = 36 \green{(1)}$ et $2x + y = 39 \green{(2)}$.

De la première équation $\green{ (1)}$, tu tires : $x=36-2y \green{(3)}$ que tu reportes dans la seconde.

$2(36-2y)+y=39$ soit $72-4y+y=39$

$72-3y=39$

$72-39=3y$

$33=3y$ et $y=11$ d'où en reportant dans $\green {(3)}$

$x=36-2\times 11=36-22=14$
Donc $x = 14$ et $y = 11$.