Mettre un problème en équation signifie transformer un énoncé écrit en français, souvent sous forme de phrases, en une équation composée uniquement de symboles mathématiques.
Méthode générale
La méthode générale pour mettre un problème en équation est la suivante (nous la détaillons dans la suite de la fiche) :
Méthode générale pour mettre en équation un problème
1/ Trouver l'égalité
2/ Choisir une inconnue et la désigner par une lettre
3/ Repérer les relations entre l'inconnue et les autres quantités du problème
4/ Écrire une équation qui correspond au problème
5/ Résoudre cette équation
6/ Répondre au problème
Remarque : Pour certains problèmes, cette méthode doit être adaptée. Il peut être nécessaire de repérer les relations entre les quantités du problème (étape 3) avant de déterminer l'égalité (étape 1) ou de choisir l'inconnue (étape 2).
I. Trouver une égalité
Dans l'énoncé, il faut repérer ce qui correspond à une égalité.
Souvent, il est nécessaire de reformuler l'énoncé.
Ce peut être une phrase.
Exemple : Le prix de trois CD est le même que le prix d'un DVD.
Le prix de trois CD est égal au prix d'un DVD.
Ce peut être une propriété géométrique à utiliser.
Exemple : Le triangle ABC est isocèle en A.
La longueur BA est égale à la longueur CA (si on s'intéresse aux longueurs).
Ce peut être une même quantité exprimée de deux façons différentes.
Exemple : Si j'achète 5 stylos identiques, il me restera 2,30 euros dans mon portefeuille. Mais si j'en achète 6, il me manquera 0,50 euro.
La quantité d'argent dans mon portefeuille est exprimée de deux façons différentes :
elle est égale au prix de 5 stylos plus 2,30 euros ;
elle est aussi égale au prix de 6 stylos moins 0,50 euro.
Autrement dit : le prix de 5 stylos plus 2,30 euros est égal au prix de 6 stylos moins 0,50 euro.
II. Choisir une inconnue
Si l'inconnue n'est pas déjà désignée par une lettre dans l'énoncé, il faut la choisir et la représenter par une lettre.
Il y a une seule quantité à chercher.
Dans ce cas, on prend cette quantité pour inconnue et on la désigne par une lettre.
Exemple : La question du problème est "Quel est le prix d'un DVD ?"
On choisit le prix d'un DVD comme inconnue et on l'appelle par exemple .
Il y a plusieurs quantités à chercher.
Dans ce cas, il faut choisir l'une d'elles comme inconnue et la représenter par une lettre. Les autres quantités seront exprimées en fonction de cette inconnue.
Exemple : La question du problème est "Quel est le prix d'un croissant et le prix d'un pain au chocolat ?"
On choisit l'une des deux quantités, par exemple le prix d'un croissant ou celui d'un pain au chocolat. Si une méthode ne fonctionne pas, on peut essayer avec l'autre inconnue.
III. Repérer les relations entre l'inconnue et les autres quantités du problème
On repère dans l'énoncé des mots-clés qui correspondent à des opérations.
Au brouillon, il est utile de simplifier le problème en mettant en évidence ces opérations.
Exemples :
"on ajoute" correspond à une addition ;
"on prend le triple de..." correspond à une multiplication par 3.
Cette étape de simplification au brouillon aide à mieux visualiser les relations du problème.
Exemple : Dans la famille Matheux, Clothilde est quatre fois plus âgée que Cindy, sa petite-fille.
Au brouillon, on écrit : "l'âge de Clothilde = 4 fois l'âge de Cindy".
On visualise mieux les relations entre les données du problème.
Remarque : Attention, il ne faut pas toujours suivre l'ordre d'apparition des mots dans l'énoncé pour traduire en équation. Par exemple, il est fréquent d'écrire "4 fois l'âge de Clothilde = l'âge de Cindy", ce qui est incorrect.
IV. Écrire une équation qui correspond au problème
On écrit une équation qui traduit le problème.
Pour rappel, une équation est une égalité entre deux expressions littérales.
Exemple : Je pense à un nombre . Si j'ajoute 4 à , alors j'obtiens le triple de . Quelle est la valeur de ?
L'équation qui correspond au problème est : .
V. Résoudre l'équation
À l'aide des propriétés de conservation de l'égalité, on résout l'équation obtenue.
VI. Répondre au problème
Une fois l'équation résolue, il faut fournir une réponse au problème initial.
Parfois, l'équation possède une solution, mais celle-ci ne répond pas à la question posée.
Exemple : Existe-t-il un nombre positif tel que les expressions et soient égales ?
Si on résout l'équation , on trouve comme solution.
La réponse au problème n'est pas , mais : il n'existe pas de nombre positif tel que les expressions et soient égales.