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Ajustement affine, interpolation, extrapolation (2)

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Énoncé

Exercice 1

Afin de mettre en évidence le réchauffement de l'atmosphère (effet de serre), on a mesuré la température moyenne annuelle de la planète.

Le tableau ci-dessous donne l'évolution de la température (en degrés Celsius) depuis 1974.

$\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline \text{Année } x_i & 1974 & 1978 & 1982 & 1986 & 1990 & 1994 & 1998 \\ \hline \text{Température } y_i~(\text{en }^\circ\text{C}) & 19{,}12 & 19{,}70 & 19{,}62 & 20 & 20{,}60 & 20{,}88 & 20{,}92 \\ \hline \end{array}$

Représenter le nuage de points $M_i(x_i~;~y_i)$ dans un repère orthogonal.

On prendra pour origine le point $(1970~;~19)$ et comme unités graphiques :

$1$ cm pour $2$ ans sur l'axe des abscisses
$5$ cm pour $1$ degré sur l'axe des ordonnées

Peut-on envisager un ajustement affine ? Pourquoi ?

On désigne par $G_1$ le point moyen des trois premiers points du nuage et par $G_2$ le point moyen des quatre derniers.

a) Calculer les coordonnées de $G_1$ et de $G_2$ et tracer la droite $(G_1G_2)$ sur le graphique.

b) Déterminer une équation de la droite $(G_1G_2)$ .

On considère que cette droite réalise un bon ajustement du nuage.

Si la tendance se confirme, déterminer

a) la température que l'on peut prévoir en $2005$ , à l'aide d'une lecture graphique ;

b) par le calcul, en quelle année la température aura dépassé $22^\circ$ C.

Révéler le corrigé

Exercice 1

1. Le nuage

Puisque le nuage ne s'écarte pas trop d'une droite, alors : on peut envisager un ajustement affine.

2.a) Calcul des points moyens

Concernant le point $G_1$ :

$x_{G_1}=\dfrac{1974+1978+1982}{3}=\boxed{1978}$

$y_{G_1}=\dfrac{19{,}12+19{,}70+19{,}62}{3}=\boxed{19{,}48}$

Concernant le point $G_2$ :

$x_{G_2}=\dfrac{1986+1990+1994+1998}{4}=\boxed{1992}$

$y_{G_2}=\dfrac{20+20{,}6+20{,}88+20{,}92}{4}=\boxed{20{,}6}$

Conclusion :

$\boxed{G_1(1978~;~19{,}48)\text{ et }G_2(1992~;~20{,}6)}$

2.b) Équation de la droite $(G_1G_2)$

Soit $y=mx+p$ , avec $m$ et $p$ réels à déterminer, l'équation réduite de la droite $(G_1G_2)$ .

$\begin{matrix} \begin{cases} G_1 \in (G_1G_2) \\ G_2 \in (G_1G_2) \end{cases} &\Longleftrightarrow& \begin{cases} 19{,}48=1978m+p \quad (I) \\ 20{,}6=1992m+p \quad (II) \end{cases} \end{matrix}$

$\Longleftrightarrow \begin{cases} 19{,}48=1978m+p \quad (I)\\ 1{,}12=14m \quad (II)-(I) \end{cases}$

\Longleftrightarrow \begin{cases} 19{,}48=1978m+p \\ m=\dfrac{1{,}12}{14}=\boxed{0{,}08} \end{cases}

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Afin de mettre en évidence le réchauffement de l'atmosphère (effet de serre), on a mesuré la température moyenne annuelle de la planète.

Le tableau ci-dessous donne l'évolution de la température (en degrés Celsius) depuis 1974.

Représenter le nuage de points $M_i(x_i~;~y_i)$ dans un repère orthogonal.

On prendra pour origine le point $(1970~;~19)$ et comme unités graphiques :

$1$ cm pour $2$ ans sur l'axe des abscisses
$5$ cm pour $1$ degré sur l'axe des ordonnées

Peut-on envisager un ajustement affine ? Pourquoi ?

On désigne par $G_1$ le point moyen des trois premiers points du nuage et par $G_2$ le point moyen des quatre derniers.

a) Calculer les coordonnées de $G_1$ et de $G_2$ et tracer la droite $(G_1G_2)$ sur le graphique.

b) Déterminer une équation de la droite $(G_1G_2)$ .

On considère que cette droite réalise un bon ajustement du nuage.

Si la tendance se confirme, déterminer

a) la température que l'on peut prévoir en $2005$ , à l'aide d'une lecture graphique ;

b) par le calcul, en quelle année la température aura dépassé $22^\circ$ C.

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Exercice 1

1. Le nuage

Puisque le nuage ne s'écarte pas trop d'une droite, alors : on peut envisager un ajustement affine.

2.a) Calcul des points moyens

Concernant le point $G_1$ :

$x_{G_1}=\dfrac{1974+1978+1982}{3}=\boxed{1978}$

$y_{G_1}=\dfrac{19{,}12+19{,}70+19{,}62}{3}=\boxed{19{,}48}$

Concernant le point $G_2$ :

$x_{G_2}=\dfrac{1986+1990+1994+1998}{4}=\boxed{1992}$

$y_{G_2}=\dfrac{20+20{,}6+20{,}88+20{,}92}{4}=\boxed{20{,}6}$

Conclusion :

$\boxed{G_1(1978~;~19{,}48)\text{ et }G_2(1992~;~20{,}6)}$

2.b) Équation de la droite $(G_1G_2)$

Soit $y=mx+p$ , avec $m$ et $p$ réels à déterminer, l'équation réduite de la droite $(G_1G_2)$ .

$\begin{matrix} \begin{cases} G_1 \in (G_1G_2) \\ G_2 \in (G_1G_2) \end{cases} &\Longleftrightarrow& \begin{cases} 19{,}48=1978m+p \quad (I) \\ 20{,}6=1992m+p \quad (II) \end{cases} \end{matrix}$