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Ajustement affine, interpolation, extrapolation (2)

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Énoncé

Exercice 1

Afin de mettre en évidence le réchauffement de l'atmosphère (effet de serre), on a mesuré la température moyenne annuelle de la planète.

Le tableau ci-dessous donne l'évolution de la température (en degrés Celsius) depuis 1974.

Anneˊe xi1974197819821986199019941998Tempeˊrature yi (en ∘C)19,1219,7019,622020,6020,8820,92\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline \text{Année } x_i & 1974 & 1978 & 1982 & 1986 & 1990 & 1994 & 1998 \\ \hline \text{Température } y_i~(\text{en }^\circ\text{C}) & 19{,}12 & 19{,}70 & 19{,}62 & 20 & 20{,}60 & 20{,}88 & 20{,}92 \\ \hline \end{array}

  1. Représenter le nuage de points Mi(xi ; yi)M_i(x_i~;~y_i) dans un repère orthogonal.

On prendra pour origine le point (1970 ; 19)(1970~;~19) et comme unités graphiques :

11 cm pour 22 ans sur l'axe des abscisses
55 cm pour 11 degré sur l'axe des ordonnées

Peut-on envisager un ajustement affine ? Pourquoi ?

  1. On désigne par G1G_1 le point moyen des trois premiers points du nuage et par G2G_2 le point moyen des quatre derniers.

a) Calculer les coordonnées de G1G_1 et de G2G_2 et tracer la droite (G1G2)(G_1G_2) sur le graphique.

b) Déterminer une équation de la droite (G1G2)(G_1G_2).

On considère que cette droite réalise un bon ajustement du nuage.

  1. Si la tendance se confirme, déterminer

a) la température que l'on peut prévoir en 20052005, à l'aide d'une lecture graphique ;

b) par le calcul, en quelle année la température aura dépassé 22∘22^\circC.

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Exercice 1

1. Le nuage
picture-in-text

Puisque le nuage ne s'écarte pas trop d'une droite, alors : on peut envisager un ajustement affine.

2.a) Calcul des points moyens

Concernant le point G1G_1 :

xG1=1974+1978+19823=1978x_{G_1}=\dfrac{1974+1978+1982}{3}=\boxed{1978}

yG1=19,12+19,70+19,623=19,48y_{G_1}=\dfrac{19{,}12+19{,}70+19{,}62}{3}=\boxed{19{,}48}

Concernant le point G2G_2 :

xG2=1986+1990+1994+19984=1992x_{G_2}=\dfrac{1986+1990+1994+1998}{4}=\boxed{1992}

yG2=20+20,6+20,88+20,924=20,6y_{G_2}=\dfrac{20+20{,}6+20{,}88+20{,}92}{4}=\boxed{20{,}6}

Conclusion :

G1(1978 ; 19,48) et G2(1992 ; 20,6)\boxed{G_1(1978~;~19{,}48)\text{ et }G_2(1992~;~20{,}6)}

2.b) Équation de la droite (G1G2)(G_1G_2)

Soit y=mx+py=mx+p, avec mm et pp réels à déterminer, l'équation réduite de la droite (G1G2)(G_1G_2).

{G1∈(G1G2)G2∈(G1G2)⟺{19,48=1978m+p(I)20,6=1992m+p(II) \begin{matrix} \begin{cases} G_1 \in (G_1G_2) \\ G_2 \in (G_1G_2) \end{cases} &\Longleftrightarrow& \begin{cases} 19{,}48=1978m+p \quad (I) \\ 20{,}6=1992m+p \quad (II) \end{cases} \end{matrix}

⟺{19,48=1978m+p(I)1,12=14m(II)−(I)\Longleftrightarrow \begin{cases} 19{,}48=1978m+p \quad (I)\\ 1{,}12=14m \quad (II)-(I) \end{cases}

⟺{19,48=1978m+pm=1,1214=0,08\Longleftrightarrow \begin{cases} 19{,}48=1978m+p \\ m=\dfrac{1{,}12}{14}=\boxed{0{,}08} \end{cases}

⟺{p=19,48−1978m=19,48−1978×0,08=−138,76m=0,08\Longleftrightarrow \begin{cases} p=19{,}48-1978m=19{,}48-1978\times0{,}08=\boxed{-138{,}76}\\ m=\boxed{0{,}08} \end{cases}

Donc : (G1G2): y=0,08x−138,76\boxed{(G_1G_2):~y=0{,}08x-138{,}76}

3. a) On trace la droite d'équation x=2005x=2005 qui coupe la droite (G1G2)(G_1G_2) en un point ; l'ordonnée de ce dernier représente la température recherchée, donc : T2005=21,65∘C\boxed{T_{2005}=21{,}65^\circ\text{C}}

3. b) Il faut résoudre l'inéquation :

y>22y>22

0,08x−138,76>220{,}08x-138{,}76>22

0,08x>138,76+220{,}08x>138{,}76+22

0,08x>160,760{,}08x>160{,}76

x>160,760,08x>\dfrac{160{,}76}{0{,}08}

x>2009,5\boxed{x>2009{,}5}

La température dépassera 22∘22^\circC au cours de l'année 20092009.

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