Entraînement

Ajustement affine, interpolation, extrapolation (3)

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Énoncé

Exercice 1

En $2004$ , une caisse de retraite propose à ses adhérents un barème de rachat d'un trimestre de cotisation des années antérieures selon le tableau suivant :

$\begin{array}{|c|ccccc|} \hline \text{Âge de l’adhérent (années)} & 54 & 55 & 56 & 57 & 58 \\ \hline \text{Rang } x_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline \text{Montant } y_i \text{ du rachat d’un trimestre (euros)} & 2229 & 2285 & 2340 & 2394 & 2449 \\ \hline \end{array}$

(Source : CARMF Mai $2004$ )

Calculer l'augmentation en pourcentage du montant du rachat d'un trimestre entre un salarié de $54$ ans et un salarié de $58$ ans. On donnera le résultat arrondi à l'unité.
Sur votre copie, représenter le nuage de points associé à la série statistique $(x_i~;~y_i)$ dans un repère orthogonal :

sur l'axe des abscisses, on placera $0$ à l'origine et on choisira $2$ cm pour une unité ;

sur l'axe des ordonnées, on placera $2200$ à l'origine et on choisira $1$ cm pour $20$ euros.

Dans cette question, les calculs effectués à la calculatrice ne seront pas justifiés.

Le nuage de points permet de penser qu'un ajustement affine est justifié.

Donner une équation de la droite de régression $(D)$ de $y$ en $x$ , obtenue par la méthode des moindres carrés.

Représenter la droite $(D)$ dans le repère précédent.

Quel serait, avec cet ajustement affine, le montant du rachat d’un trimestre pour un salarié âgé de $60$ ans ?
En fait, le montant du rachat d’un trimestre pour un salarié âgé de $60$ ans est de $2,555$ euros et le montant du rachat d’un trimestre après $60$ ans est calculé de la façon suivante : à partir de $60$ ans, le montant du rachat baisse de $3%$ par an.

Calculer le montant du rachat d’un trimestre pour un salarié ayant $65$ ans.

Exercice 2

Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.
Dans cet exercice, tous les prix seront exprimés en euros.

On s'intéresse à l'évolution du prix des appartements neufs en France métropolitaine.

Partie A

Le tableau ci-dessous indique le prix des appartements neufs en France métropolitaine, en euros par m $^2$ , entre $2004$ et $2012$ .

$\begin{array}{|c|ccccccccc|} \hline \text{Année} & 2004 & 2005 & 2006 & 2007 & 2008 & 2009 & 2010 & 2011 & 2012 \\ \hline \text{Rang de l'année } x_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline \text{Prix (euros par m}^2\text{) } y_i & 2563 & 2852 & 3071 & 3276 & 3344 & 3368 & 571 & 3773 & 3861 \\ \hline \end{array}$

Sources : Insee — SoeS

Le nuage de points de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$ est représenté en annexe à rendre avec la copie.

Bac STMG Gestion et finance Pondichéry Avril 2014 - terminale : image 8

À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d'ajustement affine de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés. On arrondira les coefficients au millième près.
On décide d'ajuster ce nuage de points par la droite $\mathcal{D}$ d'équation

$y = 151x + 2695$

a) Tracer la droite $\mathcal{D}$ sur le graphique de l'annexe à rendre avec la copie.

b) Calculer le prix du m $^2$ d'un appartement neuf prévu par ce modèle d'ajustement en $2014$ .

c) Selon ce modèle, en quelle année, pour la première fois, le prix du m $^2$ d'un appartement neuf sera-t-il supérieur à $5,000$ € ?

Partie B

Dans cette partie, on modélise l'évolution du prix du m $^2$ d'un appartement neuf en France métropolitaine de la manière suivante :

on part d'un prix de $4,200$ euros en $2014$ et on applique une augmentation annuelle de $5{,}2%$ à partir de cette date.

On définit la suite $\left(u_n\right)$ où $u_n$ représente la valeur estimée, selon ce modèle, du prix du m $^2$ d'un appartement neuf l'année $(2014+n)$ .

Ainsi $u_0 = 4200$ correspond au prix du m $^2$ en $2014$ .

On crée la feuille de calcul suivante (les cellules de la plage B2:B8 sont au format nombre à deux décimales) :

$\begin{array}{|c|c|c|} \hline & A & B \\ \hline 1 & n & u_n \\ \hline 2 & 0 & 4200{,}00 \\ \hline 3 & 1 & 4418{,}40 \\ \hline 4 & 2 & 4648{,}16 \\ \hline 5 & 3 & \\ \hline 6 & 4 & \\ \hline 7 & 5 & \\ \hline 8 & 6 & \\ \hline \end{array}$

Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$ ? Donner la raison de cette suite.
Selon ce modèle, quel serait le prix du m $^2$ d'un appartement neuf en $2020$ ?

On arrondira le résultat au centime d'euro près.

Selon ce modèle, en quelle année, pour la première fois, le prix du m $^2$ d'un appartement neuf dépassera-t-il $6~000$ € ?

Révéler le corrigé

Exercice 1

L'augmentation en pourcentage du rachat d'un trimestre entre un salarié de $54$ ans et un salarié de $58$ ans est

$\dfrac{2449-2229}{2229}\times100$

soit une augmentation d'environ $10\%$ .

picture-in-text

L'utilisation d'une calculatrice donne $a=54{,}9$ et $b=2,229{,}6$ .

L'équation de la droite de régression $(D)$ de $y$ en $x$ , obtenue par la méthode des moindres carrés, est donc

$y=54{,}9x+2,229{,}6$

Le montant du rachat d'un trimestre pour un salarié âgé de $60$ ans est

$y=54{,}9\times6+2,229{,}6$

car le rang correspondant à un âge de $60$ ans est $x=6$ .

Donc ce montant s'élève à : $2,559$ €.

Comme le montant du rachat baisse de $3%$ par an, le montant d'une année sur l'autre suit une progression géométrique de raison $0{,}97$ .

Le montant du rachat d'un trimestre pour un salarié ayant $65$ ans sera donc $2,555\times(0{,}97)^5$ soit environ $2,194$ €.

Exercice 2

Partie A

À l'aide de la calculatrice, une équation de la droite d'ajustement affine de $y$ en $x$ , obtenue par la méthode des moindres carrés (avec les coefficients arrondis au millième), est :

$y = 150{,}783x + 2694{,}533$

On décide d'ajuster ce nuage de points par la droite $\mathcal{D}$ d'équation

$y = 151x + 2695$

2.a)

picture-in-text

2.b)

L'année $2014$ est l'année de rang $10$ .

Le prix du m $^2$ d'un appartement neuf prévu par ce modèle d'ajustement en $2014$ sera :

$y = 151\times10 + 2695 = 4205$ euros

2.c)

On cherche à déterminer le plus petit rang $x$ tel que :

$151x + 2695 > 5000$

$\Longleftrightarrow 151x > 2305$

$\Longleftrightarrow x > \dfrac{2305}{151}$

$\dfrac{2305}{151} \approx 15{,}26$

En l'année de rang $15$ , c'est-à-dire en $2019$ , le prix n'aura pas encore atteint $5~000$ euros.

C'est donc au cours de l'année de rang $16$ , c'est-à-dire en $2020$ , que pour la première fois le prix du m $^2$ d'un appartement neuf sera supérieur à $5,000$ euros.

Remarque : graphique correspondant aux deux questions précédentes :

picture-in-text

Partie B

Une augmentation de $5{,}2%$ correspond à un coefficient multiplicateur de $1{,}052$ .

La suite $(u_n)$ est donc une suite géométrique de raison $1{,}052$ .

Selon ce modèle, le prix en $2020$ sera :

$4200\times(1{,}052)^6 \approx 5693{,}03$ euros

Selon ce modèle, déterminer en quelle année, pour la première fois, le prix du m $^2$ d'un appartement neuf dépassera $6,000$ euros revient à résoudre l'inéquation :

$4200\times1{,}052^n > 6000$

$\Longleftrightarrow 1{,}052^n > \dfrac{6000}{4200}$

$\Longleftrightarrow 1{,}052^n > \dfrac{10}{7}$

$1{,}052^7 \approx 1{,}426$ et $1{,}426 < \dfrac{10}{7}$

$1{,}052^8 \approx 1{,}500$ et $1{,}500 > \dfrac{10}{7}$

C'est donc l'année de rang $8$ , c'est-à-dire en $2022$ , que le prix dépassera pour la première fois $6~000$ euros.

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