Ajustement affine

I. Droite d'ajustement

Définition :

Lorsque les points du nuage sont sensiblement alignés, on appelle droite d’ajustement une droite qui passe au plus près des points du nuage.
On dit que cette droite réalise un ajustement affine du nuage de points.

Remarques :
$\circ\quad$ La variable $y$ peut alors s’exprimer de façon approchée sous la forme $y = ax + b$ (équation de la droite d’ajustement). Ainsi, on estime qu’il existe un lien affine entre $x$ et $y$.

$\circ\quad$ Il est généralement admis que la droite d’ajustement passe par le point moyen $G$ du nuage.

II. Méthode des moindres carrés

Définition : droite de régression ou droite des moindres carrés

Soit un nuage de points $M_i(x_i ; y_i)$ pour $1 \leq i \leq n$, et une droite $d$ d’équation $y = ax + b$ qui ajuste le nuage. On considère les points $P_i(x_i ; ax_i + b)$ situés sur la droite $d$.

Il existe un réel $a$ et un réel $b$ tels que la somme :

$\displaystyle MP = \sum_{i=1}^{n} M_i P_i^2 = M_1 P_1^2 + M_2 P_2^2 + \dots + M_n P_n^2$ soit minimale.

Pour ces valeurs de $a$ et $b$, la droite d’équation $y = ax + b$ est appelée droite des moindres carrés associée au nuage de points $M_i(x_i ; y_i)$ pour $1 \leq i \leq n$, ou encore droite de régression de $y$ en $x$.

Propriété :
La droite des moindres carrés a pour équation $y = ax + b$ avec :

$a = \dfrac{\text{cov}(x ; y)}{\text{var}(x)} \qquad ; \qquad b = \overline{y} - a \overline{x}$

La covariance $\text{cov}(x ; y)$ (ou $\sigma_{xy}$) des séries statistiques $x$ et $y$ se calcule de la façon suivante :

$\text{cov}(x ; y) = \sigma_{xy}$$\text{cov}(x ; y) = \dfrac{(x_1 - \overline{x})(y_1 - \overline{y}) + (x_2 - \overline{x})(y_2 - \overline{y}) + \dots + (x_n - \overline{x})(y_n - \overline{y})}{n}$

Définition :
Le coefficient de corrélation linéaire d’une série statistique de variables $x$ et $y$ est le nombre $r$ défini par : $r = \dfrac{\sigma_{xy}}{\sigma(x) \sigma(y)}$

Propriété :
Le coefficient de corrélation linéaire $r$ vérifie : $-1 \leq r \leq 1$.

• Plus $|r|$ est proche de $1$, plus l’ajustement est un bon modèle de corrélation entre les variables $x$ et $y$.

• Plus $|r|$ est proche de $0$, moins l’ajustement n’a de sens.

• Si $|r| = 1$, alors la droite de régression passe par tous les points du nuage.

III. Exemple

Reprenons l'exemple du relevé taille, poids des 8 élèves.

La série statistique double $(x ; y)$ est l’ensemble des couples suivants : $(x_1, y_1) = (150, 45)$ ; $(x_2, y_2) = (160, 50)$ ; $(x_3, y_3) = (155, 48)$ ;
$(x_4, y_4) = (165, 55)$ ; $(x_5, y_5) = (170, 60)$ ; $(x_6, y_6) = (158, 49)$
$(x_7, y_7) = (162, 52)$

Voici le nuage de points avec la droite des moindres carrés tracée en vert. Cette droite représente l'ajustement affine de la variable $y$ (le poids) en fonction de la variable $x$ (la taille). Le point moyen $(\overline{x}, \overline{y})$ est également représenté en rouge.

L’analyse statistique des données montre que les points du nuage sont presque alignés, ce qui indique une relation affine forte entre la taille $x$ (en cm) et le poids $y$ (en kg) des élèves.

La droite des moindres carrés a pour équation approximative :

$y = 0{,}74x - 66{,}44$

Cela signifie qu’en moyenne, chaque centimètre supplémentaire de taille est associé à une augmentation d’environ $0{,}74$ kg du poids.

Le coefficient de corrélation linéaire est $r \approx 0{,}98$, ce qui est très proche de $1$. Cela confirme qu’il existe une forte corrélation linéaire positive entre les deux variables : plus la taille augmente, plus le poids a tendance à augmenter également.

La droite obtenue peut donc être utilisée pour faire des prévisions ou estimer le poids d’un élève connaissant sa taille, dans la limite des valeurs observées.

IV. Utilisation de la calculatrice

Sur la calculatrice, on peut aussi représenter le nuage de points. Cela permet de vérifier visuellement si un ajustement affine a du sens.

🔸 TI-83 Premium CE

1. Appuyer sur la touche STAT

2. Sélectionner le menu EDIT : 1.Modifier

3. Entrer les valeurs de la série statistique dans les colonnes L1 (pour $x$) et L2 (pour $y$)

4. Appuyer de nouveau sur la touche STAT

5. Aller dans CALC et choisir 4:LinReg(ax+b)

6. Vérifier que Xlist : L1 et Ylist : L2

7. Valider : la calculatrice affiche l’équation $y = ax + b$ de la droite de régression de $y$ en $x$, ainsi que le coefficient de corrélation linéaire $r$

🔸 NUMWORKS

1. Appuyer sur la touche home

2. Aller dans l’application Statistiques

3. Entrer les valeurs dans les colonnes X1 (pour $x$) et Y1 (pour $y$)

4. Valider, puis descendre dans les menus

5. Sélectionner Stats → l'écran affiche les caractéristiques de la série, y compris :

   • la droite de régression $y = ax + b$

   • le coefficient de corrélation linéaire $r$

🔸 CASIO GRAPH 90+E

1. Appuyer sur la touche MENU, puis sélectionner l’icône STAT

2. Entrer les données dans les colonnes List1 (pour $x$) et List2 (pour $y$)

3. Vérifier les réglages dans SET :

   • XList : List1

   • YList : List2

4. Appuyer sur F2 : CALC, puis choisir X (droite de régression)

5. La calculatrice affiche l’équation $y = ax + b$ et la valeur du coefficient de corrélation $r$