Ajustement affine, interpolation et extrapolation

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I. Qu’est-ce qu’un ajustement affine ?

Lorsqu'on représente un nuage de points issu d'une série de données, il arrive que ces points semblent alignés, ou proches d’une droite.
Dans ce cas, on peut chercher à modéliser la relation entre les deux variables par une fonction affine.

On parle alors d’ajustement affine, c’est-à-dire :
on trace une droite 𝒟 qui passe au plus près des points (même si elle ne les traverse pas exactement), et qui permet de décrire une tendance générale.

On appelle cela un ajustement graphique, ou ajustement "au jugé", car on trace une droite à la main en choisissant une pente et un ordonnée à l’origine cohérentes avec les points.

II. Utiliser l’ajustement pour interpoler ou extrapoler

L’ajustement affine permet ensuite de :

• interpoler : estimer une valeur comprise dans l’intervalle des données observées

• extrapoler : estimer une valeur en dehors de l’intervalle observé, en prolongeant la droite

⚠️ Attention : l’extrapolation est plus risquée car la tendance peut ne plus être valide hors de l’intervalle observé.

III. Exemple complet

Données observées

Contexte : Une entreprise mesure la consommation électrique (en kWh) selon le nombre de machines en fonctionnement dans un grand atelier. On observe les consommations suivantes :

Étape 1 : Tracer une droite d’ajustement graphique

Les points sont alignés approximativement. On trace une droite passant par deux points représentatifs du nuage.
On choisit les points $A(10 ; 8)$ et $B(50 ; 33)$(ici ce sont les points extrêmes, mais ce n'est pas toujours le cas)

Calcul de la pente :

$m = \dfrac{33 - 8}{50 - 10} = \dfrac{25}{40} = 0,625$

Équation de la droite 𝒟 :

$y = 0,625x + b$

Avec $x = 10$ et $y = 8$ :
$8 = 0,625 \times 10 + b \Rightarrow b = 8 - 6,25 = 1,75$

Donc :
$\boxed{y = 0,625x + 1,75}$

Étape 2 : Interpolation

Question : Quelle est la consommation estimée pour 35 machines ?

Par lecture graphique :

Par le calcul :

$y = 0,625 \times 35 + 1,75 = 21,875 + 1,75 = 23,625$

La consommation estimée est environ 23,6 kWh pour 35 machines.

Étape 3 : Extrapolation

Question : Et pour 70 machines ?

Par lecture graphique :

Par le calcul :

$y = 0,625 \times 70 + 1,75 = 43,75 + 1,75 = 45,5$

La consommation estimée est environ 45,5 kWh pour 70 machines.
Mais attention : on extrapole hors de la plage des données observées, donc c’est moins fiable.

IV. Limites de l’ajustement graphique

• Ce n’est pas une méthode rigoureuse : deux personnes peuvent tracer deux droites différentes.

• Elle ne permet pas de mesurer précisément la qualité de l’ajustement.

• Elle est utile pour détecter une tendance linéaire et pour modéliser rapidement, mais doit être remplacée par une méthode mathématique précise : la méthode des moindres carrés (présentée plus tard).