Interpolation, extrapolation

I. Estimer graphiquement une valeur

Lorsqu’on a pu réaliser un ajustement (affine ou exponentiel) satisfaisant pour le nuage de points d’une série statistique à deux variables $x$ et $y$, on peut considérer — si cela a du sens dans le contexte étudié — que les quantités $x$ et $y$ ne sont pas complètement indépendantes, et qu’il existe un lien entre elles.

Ce lien peut être modélisé par une fonction $f$ (affine ou exponentielle), correspondant à l’ajustement trouvé, telle que :

$y = f(x)$

Cela permet d’estimer, de manière graphique ou algébrique, une valeur de la variable $y$ qui pourrait correspondre à une valeur théorique de $x$, non mesurée dans l’étude initiale.

Réciproquement, on peut également estimer une valeur de $x$ correspondant à une valeur donnée de $y$.

• Si la valeur choisie reste dans le domaine d’étude (c’est-à-dire l’intervalle couvert par les données de l’échantillon), on parle alors d’interpolation.

• Si la valeur est en dehors de cet intervalle, on parle d’extrapolation.

II. Exemple

🔹 Exemple 1 : la situation

On a relevé les températures (en °C) observées à différentes heures de la matinée dans une ville :

On remarque que les points du nuage $(x ; y)$ sont alignés. On effectue un ajustement affine et on trouve la droite de régression : $y = 2x - 4$

Voici le graphique correspondant à la situation :

• Les points bleus représentent les données relevées.

• La courbe verte est la droite d’ajustement $y = 2x - 4$.

• Le point orange correspond à l’interpolation pour $x = 10{,}5$ (température estimée : 21 °C).

• Le point rouge correspond à l’extrapolation pour $x = 14$ (température estimée : 24 °C).

🔸 Interpolation

On cherche à estimer la température à 10h30 ($x = 10{,}5$), ce qui est compris dans l’intervalle [8 ; 12] couvert par les données.

On calcule :

$y = 2 \times 10{,}5 - 4 = 21$

On estime donc qu’il faisait environ 21 °C à 10h30.
✅ C’est une interpolation.

🔸 Extrapolation

On cherche maintenant à estimer la température à 14h ($x = 14$), soit en dehors de l’intervalle [8 ; 12].

On calcule :

$y = 2 \times 14 - 4 = 24$

On estime donc qu’il ferait 24 °C à 14h, selon le modèle.
⚠️ C’est une extrapolation car la valeur de $x = 14$ dépasse le domaine d’étude.

🔹 Exemple 2 : la situation

On étudie la croissance d’une population bactérienne. Le nombre de bactéries $y$ est mesuré toutes les 2 heures :

On remarque que les points du nuage $(x ; y)$ semblent suivre une tendance exponentielle.

Après changement de variable $y' = \ln(y)$ et ajustement linéaire, on obtient :

$\ln(y) = 0{,}28x + 4{,}6$

Ce qui équivaut à : $y = \text e^{0{,}28x + 4{,}6}$

Voici le graphique pour l’exemple exponentiel :

• Les points bleus représentent les mesures du nombre de bactéries.

• La courbe verte est l’ajustement exponentiel $y = \text e^{0{,}28x + 4{,}6}$.

• Le point orange montre l’interpolation à $x = 5$ h, avec une estimation d’environ 403 bactéries.

• Le point rouge montre l’extrapolation à $x = 12$ h, avec une estimation d’environ 2880 bactéries.

🔸 Interpolation

On cherche à estimer le nombre de bactéries à $x = 5$ h, ce qui est entre 4h et 6h, donc dans le domaine d’étude.

On calcule :

$y = \text e^{0{,}28 \times 5 + 4{,}6} = \text e^{1{,}4 + 4{,}6} = \text e^{6{,}0} \approx 403$

✅ C’est une interpolation : on estime qu’il y a environ 403 bactéries à 5h.

🔸 Extrapolation

On cherche maintenant à estimer le nombre de bactéries à $x = 12$ h, ce qui est en dehors de l’intervalle [0 ; 8].

On calcule : $y = \text e^{0{,}28 \times 12 + 4{,}6} = \text e^{3{,}36 + 4{,}6} = \text e^{7{,}96} \approx 2880$

⚠️ C’est une extrapolation : selon le modèle, il y aurait environ 2880 bactéries à 12h, mais cette estimation est moins fiable.