Ajustement affine par changement de variable

Énoncé

On peut estimer l'âge de très vieux troncs d'arbres de deux façons :
d'une part, en étudiant les anneaux de croissance ;
d'autre part, en mesurant la radioactivité résiduelle du carbone 14.
On a ainsi analysé d'anciens morceaux de séquoias et de pins par les deux méthodes.
Voici le tableau des résultats obtenus :
$t_i$ est l'âge, en milliers d'années, donné par la méthode des anneaux de croissance ;
$A_i$ est la radioactivité résiduelle exprimée en unité de radioactivité.

picture-in-text

Recopier et compléter le tableau suivant où $\ln A_i$ est le logarithme népérien de $A_i$ . On arrondira les valeurs trouvées au centième le plus proche. (la connaissance du logarithme népérien n'est pas requise, seule sa définition à partir du logarithme décimal suffit). En effet :
$\ln A=\dfrac{\log A}{\log 10}$
Tracer le nuage de points $M_i\left(t_i~;~y_i\right)$ .
On prendra en abscisses : 1 cm pour 500 ans ; en ordonnées : 5 cm pour une unité.
a) Déterminer une équation de la droite $D$ passant par le premier et le dernier point de ce nuage.
b) Calculer les coordonnées du point moyen $G$ de ce nuage.
c) Le point $G$ appartient-il à $D$ ?
d) Placer $G$ et $D$ sur le dessin précédent.
On trouve un autre tronc d'arbre que l'on estime (d'après la méthode des anneaux de croissance) vieux de 5 700 ans.
Donner alors la radioactivité résiduelle qu'on lui trouverait en utilisant la droite $D$ précédente :
a) graphiquement, en faisant apparaître sur le dessin les traits permettant la lecture du résultat ;
b) par le calcul, en prenant pour équation de $D$ : $y=-0,1t+2,72$ .

Tableau
Le nuage

picture-in-text a) On cherche une équation de la droite $D$ qui passe par les deux points de coordonnées (0,5 ; 2,67) et (7,8 ; 1,92).
Si on note cette équation $D : y=at+b$ , il s'agit donc de trouver la valeur des deux réels $a$ et $b$ . On a :
$\left\lbrace\begin{matrix}2,67=0,5a+b \\1,92 = 7,8a+b \end{matrix}\right.$
$\Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{matrix}2,67=0,5a+b \\2,67-1,92=0,5a-7,8a+b-b\end{matrix}\right.$
$\Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{matrix}2,67=0,5a+b \\0,75=-7,3a\end{matrix}\right.$
$\Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{matrix}b=2,67-0,5\times(-0,103) \\ a=-\dfrac{0,75}{7,3}\approx -0,103\end{matrix}\right.$

$\Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{matrix}b\approx 2,72 \\a\approx -0,103\end{matrix}\right.$
On en déduit : $\boxed{D: y=-0.103t+2.72}$

b) Coordonnées du point $G$ :
$t_G=\dfrac{0,5+1+2+3+4+5+6,3+7,8}{8}=3,7$
$y_G=\dfrac{2,67+2,6+2,48+2,38+2,29+2,19+2,08+1,92}{8} \approx 2,326 \Longrightarrow \boxed{G(3,7 ; 2,326)}$
c) On calcule $-0,103t_G+2,72$ et si c'est égal à $y_G$ , alors le point $G$ appartient à $D$ , sinon, on a le cas contraire.
$-0,103t_G + 2,72 = -0,103 \times 3,7 + 2,72 \approx 2,339$
Or $2,339 \neq 2,326$ qui est la valeur de $y_G$ donc :
$\boxed{\text{ G n'appartient pas à D}}$
d) Voir figure au-dessus.
a) Graphiquement, on obtient l'ordonnée du point appartenant à $D$ et ayant 5,7 pour abscisse par projection (voir figure), toute valeur lue sur la graphique comprise entre 2,1 et 2,2 est acceptable, ici, on a pris 2,14.
On a donc : $\ln A = 2,14 \Longrightarrow A=e^{\ln A} = e^{2,14} \approx \boxed{8,5}$
b) On a : $y=-0,1\times 5,7+2,72=2,15$ , et donc : $A=e^y=e^{2,15} \approx \boxed{8,6}$

Énoncé

picture-in-text

Recopier et compléter le tableau suivant où $\ln A_i$ est le logarithme népérien de $A_i$ . On arrondira les valeurs trouvées au centième le plus proche. (la connaissance du logarithme népérien n'est pas requise, seule sa définition à partir du logarithme décimal suffit). En effet :
$\ln A=\dfrac{\log A}{\log 10}$
Tracer le nuage de points $M_i\left(t_i~;~y_i\right)$ .
On prendra en abscisses : 1 cm pour 500 ans ; en ordonnées : 5 cm pour une unité.
a) Déterminer une équation de la droite $D$ passant par le premier et le dernier point de ce nuage.
b) Calculer les coordonnées du point moyen $G$ de ce nuage.
c) Le point $G$ appartient-il à $D$ ?
d) Placer $G$ et $D$ sur le dessin précédent.
On trouve un autre tronc d'arbre que l'on estime (d'après la méthode des anneaux de croissance) vieux de 5 700 ans.
Donner alors la radioactivité résiduelle qu'on lui trouverait en utilisant la droite $D$ précédente :
a) graphiquement, en faisant apparaître sur le dessin les traits permettant la lecture du résultat ;
b) par le calcul, en prenant pour équation de $D$ : $y=-0,1t+2,72$ .

Tableau
Le nuage

$\Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{matrix}b\approx 2,72 \\a\approx -0,103\end{matrix}\right.$
On en déduit : $\boxed{D: y=-0.103t+2.72}$

b) Coordonnées du point $G$ :
$t_G=\dfrac{0,5+1+2+3+4+5+6,3+7,8}{8}=3,7$
$y_G=\dfrac{2,67+2,6+2,48+2,38+2,29+2,19+2,08+1,92}{8} \approx 2,326 \Longrightarrow \boxed{G(3,7 ; 2,326)}$
c) On calcule $-0,103t_G+2,72$ et si c'est égal à $y_G$ , alors le point $G$ appartient à $D$ , sinon, on a le cas contraire.
$-0,103t_G + 2,72 = -0,103 \times 3,7 + 2,72 \approx 2,339$
Or $2,339 \neq 2,326$ qui est la valeur de $y_G$ donc :
$\boxed{\text{ G n'appartient pas à D}}$
d) Voir figure au-dessus.
a) Graphiquement, on obtient l'ordonnée du point appartenant à $D$ et ayant 5,7 pour abscisse par projection (voir figure), toute valeur lue sur la graphique comprise entre 2,1 et 2,2 est acceptable, ici, on a pris 2,14.
On a donc : $\ln A = 2,14 \Longrightarrow A=e^{\ln A} = e^{2,14} \approx \boxed{8,5}$
b) On a : $y=-0,1\times 5,7+2,72=2,15$ , et donc : $A=e^y=e^{2,15} \approx \boxed{8,6}$

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