Ajustement affine, interpolation et extrapolation (5)

Partie A : Électricité provenant des énergies renouvelables en Belgique

1. Nuage de points de coordonnées $(x_i~;~y_i)$ correspondant aux données concernant la Belgique.

2. Par la calculatrice, on obtient une équation de la droite d'ajustement affine suivant la méthode des moindres carrés :

$y = 1{,}315x + 1{,}402$ (les coefficients sont arrondis au millième)

a) Droite $D$ d'équation $y = 1{,}3x + 1{,}4$

b) $2022 = 2005 + 17$ implique que le rang $x$ correspondant à l'année $2022$ est $x = 17$.

Remplaçons $x$ par $17$ dans l'équation de $D$ et calculons le pourcentage d'électricité correspondant $y$ :

$y = 1{,}3\times17 + 1{,}4$

$y = 23{,}5$

Donc la part d'électricité issue des énergies renouvelables en $2022$ est estimée à $23{,}5$ (arrondi à $0{,}1$).

4. Résolvons l'inéquation :

$1{,}3x + 1{,}4 > 25$

$1{,}3x > 25 - 1{,}4$

$1{,}3x > 23{,}6$

$x > \dfrac{23{,}6}{1{,}3}$

Or

$\dfrac{23{,}6}{1{,}3} \approx 18{,}1538$

La plus petite valeur entière de $x$ est donc $x = 19$, ce qui correspond à l'année $2024$.

La part d'électricité issue des énergies renouvelables dépassera $25$ en Belgique à partir de l'année $2024$.

Partie B : Électricité provenant des énergies renouvelables en France

1. Le taux d'évolution global de la part d'électricité issue des énergies renouvelables en France entre $2010$ et $2014$ se calcule par :

$\dfrac{\text{Valeur finale - Valeur initiale}}{\text{Valeur initiale}} = \dfrac{18{,}3 - 14{,}8}{14{,}8} \approx 0{,}236$

Ainsi, entre $2010$ et $2014$, le taux d'évolution global est d'environ $23{,}6$ (arrondi à $0{,}1$).

2. Notons $T$ le taux d'évolution global et $t_m$ le taux d'évolution annuel moyen.

Entre $2010$ et $2014$, le taux d'évolution annuel moyen vérifie :

$1 + T = (1 + t_m)^4$

$1 + 0{,}236 = (1 + t_m)^4$

$1{,}236 = (1 + t_m)^4$

$1 + t_m = 1{,}236^{\frac{1}{4}}$

$t_m = 1{,}236^{\frac{1}{4}} - 1$

$t_m \approx 0{,}0544$

Le taux d'évolution annuel moyen est donc d'environ $5{,}5$ (arrondi à $0{,}1$).

Interprétation :

Entre $2010$ et $2014$, la part d'électricité issue des énergies renouvelables en France a augmenté en moyenne de $5{,}5$ par an.

3. Le coefficient multiplicateur correspondant à une hausse de $5{,}4$ est : $1 + 0{,}054 = 1{,}054$

En $2014$, la part d'électricité issue des énergies renouvelables en France est de $18{,}3$.

De $2014$ à $2022$, il y a $8$ années d'augmentation.

On calcule : $18{,}3 \times 1{,}054^8 \approx 27{,}87$

On peut donc prévoir qu'en $2022$, la part d'électricité issue des énergies renouvelables en France serait d'environ $27{,}87$.

L'affirmation est donc exacte.