Ajustement affine par changement de variable

I. Introduction

Le changement de variable est une technique qui consiste à remplacer une (ou plusieurs) variable de données par d'autres expressions mathématiques dans le but de simplifier la relation, souvent pour obtenir une droite dans un graphique. Cette méthode est particulièrement utile pour analyser des données dont la relation est non linéaire.

Exemple théorique :

Si on a un nuage de points représentant une relation du type $y = ax^2 + b$, on peut appliquer un changement de variable en utilisant $z = x^2$. Ce changement transforme l'équation en $y = az + b$, qui est une relation linéaire entre $y$ et $z$.

II. Changement de variable classique

1. Exemple avec $z = x^2$

Supposons qu'on ait un nuage de points représentant la relation $y = x^2 + 2$, on peut alors simplifier cette expression :

$y = z+2$ qui est une expression linéaire entre $y$ et $z$.

2. Exemple avec $y = \log(x)$

Supposons que vous avez des données de type logarithmique, par exemple $y = \log(x)$. On peut linéariser cette relation en appliquant un changement de variable :

• Remplaçons $x$ par $z = \log(x)$, donc $y = z$ devient une relation linéaire simple.

3. Exemple avec $y = \dfrac{1}{t}$

Prenons une autre relation, $y = \dfrac{1}{t}$. Ici, si $t$ est une variable positive, un changement de variable classique pourrait être $z = \dfrac{1}{t}$, ce qui donnerait $y = z$.

4. Exemple avec $y = \dfrac{1}{\sqrt{n}}$

Si vous avez une relation du type $y = \dfrac{1}{\sqrt{n}}$, on peut appliquer un changement de variable pour la rendre linéaire. Par exemple, en posant $z = \sqrt{n}$, cela transforme l'équation en $y = \dfrac{1}{z}$, une relation inverse qui pourrait être plus facile à analyser.

III. Illustration avec un nuage de points

Exemple numérique :

Nous avons les points suivants pour $x$ et $y$ :