Ajustement affine, interpolation et extrapolation (1)

Exercice 1 :

On a relevé la consommation électrique d’un atelier en fonction du nombre de machines utilisées.

Le tableau ci-dessous donne la consommation $y$ (en kWh) en fonction du nombre de machines $x$.

1. Représentation graphique :
L’échelle doit être régulière (par exemple : 1 carre = 5 machines en abscisse et 1 carre = 2 kWh en ordonnée).
On remarque que les 4 premiers points ($x = 10$ à $x = 40$) sont assez bien alignés. Le cinquième point ($x = 50$ ; $y = 43$) est nettement au-dessus de la tendance.

2. Observation du point $(50 ; 43)$ :
Ce point est éloigné de l’alignement formé par les autres points. Il semble trop haut comparé à la progression régulière des autres.
Cela pourrait être une valeur aberrante (erreur de mesure, situation exceptionnelle…).

3. Pourquoi ne pas utiliser les extrêmes ?
Tracer une droite passant par les points $(10 ; 8)$ et $(50 ; 43)$ forcerait la droite à suivre une tendance exagérée, à cause de l’anomalie du dernier point.
Le modèle serait faussé, notamment pour les interpolations entre $x = 20$ et $x = 40$.

4. Points les plus représentatifs :
Les points $(20 ; 16)$ et $(40 ; 26)$ sont bien placés dans le nuage central et semblent refléter la tendance réelle.
Ce sont donc eux qu’il faut utiliser pour tracer un ajustement graphique raisonnable.

5. Tracé de la droite :
Tracer une droite passant par $B(20 ; 16)$ et $D(40 ; 26)$. Elle suit la tendance visible du nuage sans être influencée par l’anomalie du point $E$.

6. Équation de la droite :

Calcul de la pente :
$m = \dfrac{26 - 16}{40 - 20} = \dfrac{10}{20} = 0,5$

Équation : $y = 0,5x + b$

On utilise le point $(20 ; 16)$ pour trouver $b$ :
$16 = 0,5 \times 20 + b \Rightarrow b = 16 - 10 = 6$

Donc :
$\boxed{y = 0,5x + 6}$

7. Interpolation pour 35 machines :

Lecture graphique :

Par le calcul :
$y = 0,5 \times 35 + 6 = 17,5 + 6 = \boxed{23,5}$

La consommation estimée pour 35 machines est 23,5 kWh

8. Extrapolation pour 60 machines :

Par lecture graphique :

Par le calcul :
$y = 0,5 \times 60 + 6 = 30 + 6 = \boxed{36}$

La consommation estimée pour 60 machines est 36 kWh

Attention : le modèle est basé sur des données entre 10 et 40 machines. L’extrapolation à 60 machines sort de cette plage, donc le résultat doit être pris avec prudence.

Exercice 2

Étape 1 : Ajustement graphique

Le choix a été fait de débuter l'axe des ordonnées à la graduation $90$, afin de représenter plus facilement les points du nuage.

Les points sont à peu près alignés : on ajuste une droite au jugé.

On prend deux points représentatifs : $A(5 ; 95)$ et $B(25 ; 135)$

Pente :

$m = \dfrac{135 - 95}{25 - 5} = \dfrac{40}{20} = 2$

Équation de la droite 𝒟 :
$y = 2x + b$

Avec $x = 5$, $y = 95$ :
$95 = 2 \times 5 + b \Rightarrow b = 95 - 10 = 85$

Donc :
$\boxed{y = 2x + 85}$

Étape 2 : Interpolation

Question : Quelle serait la fréquence cardiaque après un effort de 17 minutes ?

Lecture approximative sur le graphique, puis calcul :

$y = 2 \times 17 + 85 = 34 + 85 = 119$

Estimation : 119 bpm après 17 minutes d’effort.

Étape 3 : Extrapolation

Question : Quelle serait la fréquence après 30 minutes d’effort ?

Lecture approximative sur le graphique, puis calcul :

$y = 2 \times 30 + 85 = 60 + 85 = 145$

Estimation : 145 bpm
⚠️ Cette valeur est extrapolée : il faut rester prudent, car la linéarité pourrait ne plus être valable au-delà de 25 minutes.

Exercice 3

Étape 1 : Ajustement graphique

On trace une droite passant au plus près des points du nuage.
Prenons les points $A(10 ; 12)$ et $B(50 ; 47)$.

Pente :

$m = \dfrac{47 - 12}{50 - 10} = \dfrac{35}{40} = 0,875$

Équation de la droite :

$y = 0,875x + b$

Avec $x = 10$ et $y = 12$ :

$12 = 0,875 \times 10 + b \Rightarrow b = 12 - 8,75 = 3,25$

Donc :
$\boxed{y = 0,875x + 3,25}$

Étape 2 : Interpolation

Question : Quel est le prix estimé pour 35 articles ?

$y = 0,875 \times 35 + 3,25 = 30,625 + 3,25 = 33,875$

Le prix estimé pour 35 stylos est d’environ 33,88 €

Étape 3 : Extrapolation

Question : Quel serait le prix estimé pour 70 articles ?

$y = 0,875 \times 70 + 3,25 = 61,25 + 3,25 = 64,5$

Le prix total estimé est 64,50 €
⚠️ Cette valeur est extrapolée. Il est possible qu’une nouvelle tranche tarifaire s’applique au-delà de 50 articles, ce qui rend le modèle moins fiable.

Exercice 4 :

Étape 1 : Ajustement graphique

Les points sont bien alignés, la tendance est linéaire décroissante. On choisit deux points pour tracer une droite : $A(0 ; 18)$ et $B(2000 ; 5)$

Pente :

$m = \dfrac{5 - 18}{2000 - 0} = \dfrac{-13}{2000} = -0,0065$

Équation de la droite :

$y = -0,0065x + b$

Avec $x = 0$, $y = 18 \Rightarrow b = 18$

Donc :
$\boxed{y = -0,0065x + 18}$

Étape 2 : Interpolation

Question : Quelle est la température estimée à 1250 mètres d’altitude ?

$y = -0,0065 \times 1250 + 18 = -8,125 + 18 = 9,875$

La température estimée est environ 9,9 °C à 1250 m.

Étape 3 : Extrapolation

Question : Quelle température prévoir à 2500 mètres d’altitude ?

$y = -0,0065 \times 2500 + 18 = -16,25 + 18 = 1,75$

Température estimée : 1,75 °C
⚠️ Attention : au-delà de 2000 m, d’autres phénomènes climatiques peuvent intervenir. Cette extrapolation reste une approximation.