Ajustement exponentiel

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I. Définition

Parfois, le nuage de points de la série statistique $(x ; y)$ a une forme générale qui ressemble à la courbe d’une fonction exponentielle $x \longmapsto \text e^{ax + b}$.

Pour déterminer l’expression de la fonction dont la courbe représentative approche au mieux le nuage de points, on effectue un changement de variable en posant : $y' = \ln(y)$

Le nuage de points de la série statistique $(x ; y')$ présente alors une forme rectiligne, que l’on peut ajuster par la droite de régression de $y'$ en $x$, d’équation : $y' = ax + b$

Cela revient à écrire : $\ln(y) = ax + b$

ce qui équivaut à : $y = \text e^{ax + b}$

Cette équation représente une courbe exponentielle qui ajuste au mieux le nuage.
On dit alors qu’on a réalisé un ajustement exponentiel.

II. Exemple

On considère les données suivantes, représentant deux séries statistiques liées par une relation supposée exponentielle :

Le nuage de points associé à la série $(x ; y)$ semble suivre une tendance exponentielle, c’est-à-dire une courbe de type : $y = \text e^{ax + b}$

Pour vérifier cette hypothèse, on effectue un changement de variable en posant :

$y' = \ln(y)$

On obtient alors une nouvelle série statistique $(x ; y')$, dont les points apparaissent presque alignés. On ajuste ce nuage par une droite de régression de $y'$ en $x$ :

$y' = ax + b$

Ce qui équivaut à : $\ln(y) = ax + b \quad \Longleftrightarrow \quad y = \text e^{ax + b}$

On a ainsi réalisé un ajustement exponentiel de la série de départ.

D’après les calculs effectués à l’aide d’un logiciel ou d’une calculatrice, on trouve :

$a \approx 0{,}541 \quad ; \quad b \approx 0{,}907$

L’équation de la fonction ajustée est donc :

$y = \text e^{0{,}541x + 0{,}907}$

Cette courbe passe au plus près des points du nuage initial $(x ; y)$ et permet d’estimer les valeurs de $y$ à partir de $x$ par un modèle exponentiel.

On a représenté les données initiales, puis l'ajustement exponentiel.

III. Utiliser sa calculatrice

Lorsqu’un nuage de points semble suivre une courbe exponentielle de type $y = \text e^{ax + b}$, on réalise un ajustement exponentiel en procédant à un changement de variable :
on pose $y' = \ln(y)$, ce qui permet d’effectuer un ajustement affine sur les points $(x ; y')$.

🔸 TI-83 Premium CE

1. Appuyer sur STAT, puis EDIT

2. Saisir les $x$ dans L1 et les $y$ dans L2

3. Aller dans STAT → CALC → choisir 4:LinReg(ax+b)

4. Si nécessaire, créer une colonne L3 contenant les $\ln(y)$ :

   • Aller dans L3 et taper ln(L2)

5. Lancer à nouveau LinReg(ax+b) avec :

   • Xlist : L1

   • Ylist : L3

6. Lire les coefficients $a$ et $b$ de la droite $\ln(y) = ax + b$

7. En déduire l’équation exponentielle : $y = \text e^{ax + b}$

🔸 NUMWORKS

1. Aller dans l’application Statistiques

2. Entrer les données $x$ dans X1 et $y$ dans Y1

3. Dans la section Modèle, choisir Exponentielle

4. La calculatrice effectue automatiquement le changement de variable $\ln(y)$ et affiche :

   • l’équation $y = \text e^{ax + b}$

   • les paramètres $a$ et $b$

   • la valeur du coefficient de corrélation $r$

🔸 CASIO GRAPH 90+E

1. Aller dans le menu STAT

2. Saisir les données $x$ dans List1 et $y$ dans List2

3. Créer une List3 contenant les $\ln(y)$ :

   • Aller dans List3, taper ln(List2)

4. Aller dans F2 : CALC, puis choisir X pour effectuer la régression linéaire

   • XList : List1

   • YList : List3

5. Lire l’équation $\ln(y) = ax + b$, puis transformer en $y = \text e^{ax + b}$