Etude de la fonction logarithme népérien

Exercice 1

1. $\ln(x+1)=\ln(7) \iff x+1=7$ avec $x+1>0$.
   $\iff x=6$ qui est valide car $x+1=7>0$.
   Solution : $x=6$.

2. $\ln(2x-3)=\ln(5) \iff 2x-3=5$ avec $2x-3>0$.
   $\iff 2x=8 \iff x=4$. Vérification : $2x-3=5>0$.
   Solution : $x=4$.

3. $\ln(3x+6)=\ln(x+10) \iff 3x+6=x+10$ avec $3x+6>0$ et $x+10>0$.
   $\iff 2x=4 \iff x=2$. Vérification : $3x+6=12>0$, $x+10=12>0$.
   Solution : $x=2$.

Exercice 2

1. $f(x)=\ln(x)$, $f'(x)=\dfrac{1}{x}$. Pour $x>0$, on a $f'(x)>0$.

2. Donc $f$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$.

3. Comme $2<5$, on a $\ln(2)<\ln(5)$.
   Vérification numérique : $\ln(2)\approx0.693$, $\ln(5)\approx1.609$.

Exercice 3

1. $\ln(x+2)+\ln(x-1)=\ln(12)$.
   Condition : $x+2>0$ et $x-1>0 \implies x>1$.
   $\iff \ln((x+2)(x-1))=\ln(12)$.
   $\iff (x+2)(x-1)=12$.
   $\iff x^2+x-2=12 \iff x^2+x-14=0$.
   $\Delta=1+56=57$.
   $x=\dfrac{-1\pm \sqrt{57}}{2}$.
   Approximation : $x\approx3.27$ ou $x\approx -4.27$.
   Seul $x\approx3.27$ est valide ($x>1$).

2. $\ln(x)+\ln(x-4)=\ln(5)$.
   Condition : $x>4$ (qui est la condition la plus "forte" des deux).
   $\iff \ln(x(x-4))=\ln(5)$.
   $\iff x(x-4)=5$.
   $\iff x^2-4x-5=0$.
   $\Delta=16+20=36$.
   $x=\dfrac{4\pm6}{2}$.
   $x=5$ ou $x=-1$. Seul $x=5$ est valide ($x>4$).

3. $\ln(2x-1)+\ln(x-3)=\ln(8)$.
   Condition : $2x-1>0$ et $x-3>0 \implies x>\dfrac{1}{2}$ et $x>3 \implies x>3$.
   $\iff \ln((2x-1)(x-3))=\ln(8)$.
   $\iff (2x-1)(x-3)=8$.
   $\iff 2x^2-6x-x+3=8$.
   $\iff 2x^2-7x-5=0$.
   $\Delta=49+40=89$.
   $x=\dfrac{7\pm \sqrt{89}}{4}$.
   Seule la racine positive supérieure à 3 est retenue.
   $x=\dfrac{7+\sqrt{89}}{4}\approx3.61$.

Exercice 4

1. $\ln(x+1)\leq \ln(9) \iff x+1\leq 9$ avec $x+1>0$.
   $\iff x\leq 8$ et $x>-1$.
   Solution : $x\in ]-1;8]$.

2. $\ln(x-2)\geq \ln(4) \iff x-2\geq 4$ avec $x>2$.
   $\iff x\geq 6$.
   Solution : $x\in[6;+\infty[$.

3. $\ln(x+5)+\ln(x-1)\leq \ln(20)$.
   Conditions : $x+5>0$ et $x-1>0 \implies x>1$.
   $\iff \ln((x+5)(x-1))\leq \ln(20)$.
   $\iff (x+5)(x-1)\leq 20$.
   $\iff x^2+4x-5\leq20$.
   $\iff x^2+4x-25\leq0$.
   $\Delta=16+100=116$.
   Racines : $x=\dfrac{-4\pm \sqrt{116}}{2}=\dfrac{-4\pm 2\sqrt{29}}{2}=-2\pm\sqrt{29}$.
   Donc $x\in[-2-\sqrt{29};-2+\sqrt{29}]$.
   Mais $x>1$, donc solution : $x\in]1;-2+\sqrt{29}] \approx ]1;3.39]$.

Exercice 5

1. $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\ln(x)=+\infty$.

2. $\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\ln(x)=-\infty$.

3. $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x)}{x}$.
   On sait que $\ln(x)$ croît moins vite que $x$.
   $\dfrac{\ln(x)}{x}\to0$.