Une identité remarquable

I. Produit d'une différence par une somme de deux mêmes valeurs

Propriété :
Pour tous nombres a et b, on a : $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$

II. Démonstrations de ce résultat

$1.$ Par le calcul, en utilisant la double distributivité :
$\small (a - b)(a + b) = a \times a + a \times b - b \times a - b \times b$

$\phantom{\phantom{\small (a - b)(a + b)}}= a^2 - b^2$

$2.$ En utilisant la géométrie

Lorsque a et b sont deux nombres positifs, on peut établir l'égalité en considérant la figure ci-dessous :

$ABCD$ est un rectangle de longueur $(a + b)$ et de largeur $a$,

$AEGF$ est un rectangle de largeur $b$ et de longueur $a$,

$GHCI$ est un rectangle de longueur $(a - b)$ et de largeur $b$ et

$FGID$ est un carré de côté $b$.

Exprimons de deux manières différentes l'aire $\mathcal{A}$ du rectangle $EBCI$ :

$EBCI$ est un rectangle de longueur $(a + b)$ et de largeur $(a - b)$,

donc $\mathcal{A} = (a - b)(a + b)$

ou :

$\mathcal{A} = \mathcal{A}_{\text{ABCD}} - \mathcal{A}_{\text{AEGF}} - \mathcal{A}_{\text{FGID}}$

$\mathcal{A} = a(a + b) - ba - b^2$

$\mathcal{A} = a^2 + ab - ab - b^2$

$\mathcal{A} = a^2 - b^2$

D'où : $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$

III. Exemples

Développer :

$(5x - 3)(5x + 3) = (5x)^2 - 3^2$

$\phantom{(5x - 3)(5x + 3)}= 25x^2 - 9$

$(2x + 5)(2x - 5) = (2x)^2 - 5^2$

$\phantom{(5x - 3)(5x + 3)}= 4x^2 - 25$

Calculer mentalement :

$\checkmark$ $99 \times 101 = (100 - 1)(100 + 1)$

$99 \times 101= 100^2 - 1^2$

$99 \times 101= 10 000 - 1 = 9 999$

$\checkmark$$21 \times 19 = (20 + 1)(20 - 1)$

$99 \times 101= 20^2 - 1^2$

$99 \times 101= 400 - 1 = 399$

$\checkmark$$32 \times 28 = (30 + 2)(30 - 2)$

$32 \times 28= 30^2 - 2^2$

$32 \times 28= 900 - 4 = 896$