Identités remarquables et géométrie

I. Le carré d'une somme

Propriété

Pour tous nombres $a$ et $b$, on a : $\boxed{(a + b)² = a² + 2ab + b²}$

Démontrons ce résultat avec un dessin :

Lorsque a et b sont deux nombres positifs, on peut établir l'égalité en considérant la figure ci-dessous :

$ABCD$ est un carré de côté $a + b$, $AEFG$ est un carré de côté $a$,$FHCI$ est un carré de côté $b$, $EBHF$ et $GFID$ sont deux rectangles de largeur $a$ et de longueur $b$.

Exprimons de deux manières différentes l'aire $\mathcal{A}$ du carré ABCD :
$ABCD$ est un carré de côté a + b, donc $\mathcal{A} = (a + b)^2$
ou :
$\mathcal{A} = \mathcal{A}_{\text{AEFG}} + \mathcal{A}_{\text{EBHF}} + \mathcal{A}_{\text{FHCI}} + \mathcal{A}_{\text{GFID}}$
$\mathcal{A} = a^2 + a \times b + b^2 + a \times b$
$\mathcal{A} = a^2 + 2ab + b^2$
D'où : $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

2. Carré d'une différence

Propriété :
Pour tous nombres a et b, on a : $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Démontrons ce résultat avec un dessin :

Lorsque a et b sont deux nombres positifs, on peut établir l'égalité en considérant la figure ci-dessous :

$EHCG$ est un carré de côté $a$, $EIAF$ est un carré de côté $b$, $ABCD$ est un carré de côté $(a - b)$ et $IHBA$ et $ADGF$ sont deux rectangles de largeur $b$ et de longueur $(a - b)$.

Exprimons de deux manières différentes l'aire $\mathcal{A}$ du carré $ABCD$ :
$ABCD$ est un carré de côté a - b, donc $\mathcal{A} = (a - b)^2$
ou :
$\mathcal{A} = \mathcal{A}_{\text{EHCG}} - \mathcal{A}_{\text{EIAF}} - \mathcal{A}_{\text{IHBA}} - \mathcal{A}_{\text{ADGF}}$
$\mathcal{A} = a^2 - b^2 - b \times (a - b) - b \times (a - b)$
$\mathcal{A} = a^2 - b^2 - ba + b^2 - ba + b^2$
$\mathcal{A} = a^2 - 2ab + b^2$
D'où : $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Exemples :
Développer :
$\checkmark (x - 7)^2 = x^2 - 2 \times x \times 7 + 7^2$

${\phantom{\checkmark (x - 7)^2 }= x^2 - 14x + 49}$

$\checkmark (2x - 3)^2 = (2x)^2 - 2 \times 2x \times 3 + 3^2$

${\phantom{\checkmark (2x-3)^2 }= 4x^2 - 12x + 9}$

$\checkmark (5x - 3)^2 = (5x)^2 - 2 \times 5x \times 3 + 3^2$

${\phantom{\checkmark (2x-3)^2 }= 25x^2 - 30x + 9}$

Calculer :
$99^2 = (100 - 1)^2$

${\phantom{99^2}= 100^2 - 2 \times 100 \times 1 + 1^2 }$

${\phantom{99^2}= 10\ 000 - 200 + 1 }$

${\phantom{99^2}= 9\ 801}$

3. Produit d'une différence par une somme de deux mêmes valeurs

Propriété :
Pour tous nombres a et b, on a : $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$

Démontrons ce résultat avec un dessin :

Lorsque a et b sont deux nombres positifs, on peut établir l'égalité en considérant la figure ci-dessous :

$ABCD$ est un rectangle de longueur $(a + b)$ et de largeur $a$, $AEGF$ est un rectangle de largeur $b$ et de longueur $a$, $GHCI$ est un rectangle de longueur $(a - b)$ et de largeur $b$ et $FGID$ est un carré de côté $b$.

Exprimons de deux manières différentes l'aire $\mathcal{A}$ du rectangle $EBCI$ :
$EBCI$ est un rectangle de longueur $(a + b)$ et de largeur $(a - b)$, donc $\mathcal{A} = (a - b)(a + b)$
ou :
$\mathcal{A} = \mathcal{A}_{\text{ABCD}} - \mathcal{A}_{\text{AEGF}} - \mathcal{A}_{\text{FGID}}$
$\mathcal{A} = a(a + b) - ba - b^2$
$\mathcal{A} = a^2 + ab - ab - b^2$
$\mathcal{A} = a^2 - b^2$
D'où : $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$