Ensemble puissance et produits cartésiens

Légende de la leçon

Vert : définitions

I. Ensemble puissance

1) Définition de l'ensemble puissance

L'ensemble puissance d'un ensemble $\text{A}$, noté $\text{P}(\text{A})$ ou $2^A$, est l'ensemble de tous les sous-ensembles possibles de $\text{A}$, y compris l'ensemble vide et $\text{A}$ lui- même.

2) Exemple

Si $\text{A} =$ {$1$, $2$}, alors $\text{P}(\text{A})$ = {$\empty$, {$1$}, {$2$}, {$1$, $2$}}.

3) Propriétés

• Cardinalité : Si un ensemble $\text{A}$ a $\text{n}$ éléments, alors $\text{P}(\text{A})$ aura $2^\text{n}$ éléments.
• Relations : L'ensemble puissance démontre la relation entre les ensembles et leurs sous-ensembles.

II. Produit cartésien

1) Définition du produit cartésien

Le produit cartésien de deux ensembles $\text{A}$ et $\text{B}$, noté $\text{A} \times \text{B}$, est l'ensemble de toutes les paires ordonnées possibles $(\text{a}, \text{b})$, où $\text{a}$ appartient à $\text{A}$ et $\text{b}$ appartient à $\text{B}$.

2) Exemple

Si $\text{A} =$ {$1$, $2$} et $\text{B} =$ {$\text{a}$, $\text{b}$}, alors $\text{A} \times \text{B} =$ {($1$,$\text{a}$), ($1$, $\text{b}$), ($2$, $\text{a}$), ($2$, $\text{b}$)}.

3) Propriétés

• Cardinalité : Si $\text{A}$ a $\text{m}$ éléments et $\text{B}$ a $\text{n}$ éléments, alors $\text{A} \times \text{B}$ aura $\text{m} \times \text{n}$ éléments.
• Non commutativité : En général, $\text{A} \times \text{B} \ne \text{B} \times \text{A}$.

Je retiens

Ensemble puissance : Comprend tous les sous-ensembles d'un ensemble donné.

Produit cartésien : Forme des paires ordonnées à partir de deux ensembles.