probabilité

Exercice L: Soit k un entier naturel supérieur ou égal à 2. Une urne contient k boules noires et 3 boules blanches, Ces k + 3 boules sont indiscernables au toucher. Une partie consiste à prélever au hasard successivement et avec remise deux boules dans cette urne. On établit la règle de jeu suivante un.joueur perd 9 euros Si les deux boules tirées sont de couleur blanche; un joueur perd 1 euro si les deux boules tirées sont de couleur noire: un joueur gagne 5 euros si les deux boules tirées sont de couleurs différentes ; on dit dans ce cas-la qu'il gagne la partie. m8 Partie A Dans la partie A, on pose k = 7. Ainsi l`urne contient 3 boules blanches et 7 boules noires indiscernables au toucher.

1. Unjoueur joue une partie. On note p la probabilité que le joueur gagne la partie, c'est-à-dire LO probabilité qu'il ait tiré deux boules de couleurs differentes. Démontrer que p = 0,42.
2. Soit n un entier tel que n > 2. Un joueur joue n parties identiques et indépendantes. On note X la variable aléatoire qui comptabilise nombre de parties gagnées par le joueur a) Expliquer pourquoi la variable X suit une loi binomiale de paramètres n et p. b) Dans cette question uniquement, on suppose que n=8. Calculer P(X = 3). Arrondir au centième. a) On note p, la probabilité que le joueur gagne au moins une fois au cours des n parties. Exprimer pn en fonction de n, puis calculer p1o en arrondissant au millième. b) Déterminer le nombre minimal de parties que le joueur doit jouer afin que la probabilité de gagner au moins une fois soit supérieure à 99%. my-oxford.com Partie B Dans la partie B, le nombre k est un entier naturel supérieur ou égal à 2. Un joueur ioue une partie. On note Yk la variable aléatoire égale au 6k gain algébrique du joueur. a) Justifier 1'égalité : p(Yk = 5) (k+3)2 b) Ecrire la loi de probabilité de la variable aléatoire Yk c) Déterminer l'espérance de Yk: Existe-t-il des valeurs de k pour lesquelles le jeu est équitable ? Soit f la fonction dérivable, et définie sur Il'intervalle ]0; -+oo[ par Exercice 2: gG) ex
3. Etude d'une fonction auxiliaire a) Soit la fonction g dérivable, définie sur [0; -+oo[ par g(x) = x2ex_1 Démontrer qu 17 existe un unique réel a appartenant à [0;-+oo[tel que g(a) 11 0. Donner un encadrement de a d'a "amplitude 10-3 Etudier le sens de variation de la fonction g.