Grand Oral - Loi de refroidissement de Newton - Terminale scientifique

Bonjour,

Je viens sur ce forum un peu en panique pour une question précise du programme de terminale que je souhaite présenter pour mon grand oral, dont la problématique est la suivante : Comment estimer l'heure d'un crime grâce à la loi de refroidissement de Newton ?

J'aurais bien aimé demander de l'aide à ma professeure de physique, comme je l'ai fait pour préparer mon grand oral de Mathématiques, mais elle ne répond jamais à ses mails, et est absente depuis longtemps. Autant dire que je suis en plein désespoir.

Je souhaitais simplement une aide concernant ma démonstration de la loi de refroidissement de Newton, que j'ai élaboré moi même, mais vu que je ne suis pas fortiche dans ce domaine j'ai sans aucun doute commis des erreurs, et j'aimerais simplement que quelqu'un de qualifié m'aide en me disant ce qu'il y a à modifier. Voici la partie dont je souhaitais recevoir un retour constructif :

• "Commençons par déterminer toutes les données qui vont nous être utiles par la suite. On sait que la température extérieure, supposée constante durant la nuit, était de 20°C, la température du corps au moment de la mort est par définition de 37 degrés. Lorsque l’enquêteur arrive au manoir, à 6h du matin, on mesure que la température du corps est descendue à 32°C. Trente minutes plus tard (soit à 6h30), l’enquêteur mesure une nouvelle fois la température du corps, qui passe alors à 31°C (et vous allez voir par la suite, cette mesure n’est pas anodine).
  On pourrait ici détailler l’aspect plus mathématique de cette loi et résoudre l’équation différentielle dT/dt = -k(T-Text), ce qui est au programme de la spécialité mathématique, mais ici, on ne s'y attardera pas.
• Après résolution de cette équation, on trouve :
• T(t) = Text + (T(0)-Text)*e-kt, où T(0). A noter que e(-kt) montre une décroissance rapide au début, ralentissant progressivement)
• Or, pour trouver le t présent dans la solution de cette équation, soit l’heure de notre crime, nous devrons d’abord calculer la constante k, indispensable à la suite du raisonnement. On peut alors se servir de la température du corps T(30), soit la température mesurée 30 minutes après l’arrivée de l’enquêteur, qui est égal à 31°C : T(30) = 31 ⇔ 12e-30k + 20 = 31 ⇔ e-30k = 11/12 ⇔ -30k = ln(11/12)
• Donc k = -ln(11/12)/30 = -2.9 x 10^-3. On garde cette valeur.
• On va à présent pouvoir trouver le temps t de l’heure du crime. On sait que :
• T(0) = 37 => 37 = Text + (T(0)-Text)*e-kt.
• On remplace par toutes les valeurs énoncées précédemment:
• 37 = 12e-kt + 20 soit e-kt = 17/12
• On applique la fonction logarithme népérien pour se débarrasser de l’exponentielle : -kt0 = ln(17/12) => t0 = ln(17/12)/-k = 120.
• Donc, la mort a eu lieu environ deux heures avant l’arrivée de l’enquêteur à 6h00, soit à :
• 6h00−2h00 = 4h00 du matin "

Je suis conscient que ma demande n'est pas des plus simples. Je serai donc éternellement reconnaissant à celui ou celle qui prendra le temps nécessaire pour m'aider. Vraiment.